Формулы половинного аргумента.

Формулы половинного аргумента.

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; .

Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

Пример.

а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

Запишем формулу косинуса двойного аргумента в виде и заменим х на . Тогда получим: , учтём, что

, получаем

(1)формула синуса половинного аргумента.

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2)формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Например, .

Пример.Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

Выведем формулу, по которой можно найти через .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

Выведем формулу для через . Применим формулу косинуса двойного угла, где , , разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

Если в формуле тангенса двойного угла представить , то получим ещё одну формулу, по которой тангенс угла можно найти через тангенс угла : tg =

С помощью доказанных формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Пример. Доказать тождество .

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.