РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА. ТЕОРИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ». Вариант №1. Вариант №2

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

«ТЕОРИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ»

Составители: преподаватели кафедры Вычислительных методов и уравнений математической физики.

Вариант №1

1. Найти производную поля в точке А(1,2,1) в направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

2. Найти угол между градиентом скалярных полей и в точке .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля градиентов функции .

5. Вычислить работу силы при перемещении по линии из точки А(2,0,1) в точку В(0,4,1).

6. Вычислить поток поля через плоский треугольник с вершинами в точках А(2,0,0), B(0,-1,0), C(2,0,4). Нормальный вектор плоскости образует острый угол с осью Ох.

7. Найти поток поля через полусферу в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для вектора , принимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды, ограниченную плоскостями , а за контур интегрирования – линию пересечения её с плоскостью z = 0.

9. Доказать, что .

10. Вычислить , где и постоянные векторы, а - радиус-вектор точки.

Вариант №2

1. Дано скалярное поля . Найти Построить поверхность уровня для

2. Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S: , образующей тупой угол с положительным направлением оси Oz .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля градиентов функции .

5. Вычислить работу силы при перемещении по линии (L): из точки в точку

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями z = 0, z = 3, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через часть поверхности отсеченную плоскостями y = 3 в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащей в I октанте образованную поверхностью и плоскостями x = 0, z = 0, а за контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью

у = 0.

9. Доказать, что вектор ортогонален к , если - дифференцируемые скалярные функции.

10. Найти , где и , .

Вариант №3

1. Найти градиент поля , где , М(x,y,z). Построить поверхность уровня поля, соответствующие значениям

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля градиентов функции .

5. Вычислить работу силы при перемещении по линии от точки до точку

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через замкнутую поверхность, образованную полусферой и параболоидом , в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность, а за поверхность интегрирования – поверхность цилиндра натянутую на этот контур.

9. Доказать, что вектор , где - дифференцируемая функция.

10. Найти , где -радиус-вектор точки, - произвольная дважды дифференцируемая функция. В каком ?

Вариант №4

1. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид , где - постоянный вектор, - радиус-вектор точки поля. Построить поверхности равного потенциала для , если .

2. Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S: , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу силы при перемещении по линии (L) от точки к точке если линия (L) – меньшая дуга кривой

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через часть поверхности отсеченную плоскостями z =1, в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования эллипс y = 0, а за поверхность интегрирования – часть поверхности цилиндра , и

9. Доказать, что .

10. Найти , где , а .

Вариант №5

1. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид , где “а” и “b” - константы. Найти длину и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности для a > 0, b > 0?

2. Найти производную скалярных полей в точке по направлению нормали к поверхности S: , образующей тупой угол с направлением оси Oz .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу вектора силы по меньшей дуге окружности от точки до точке

6. Вычислить поток поля через плоский треугольник с вершинами в точках А(-4,0,0), B(0,2,0), C(-4,0,4). Нормальный вектор плоскости образует с осью Oy острый.

7. Найти поток поля через границу пространственной области в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования астроиду а за поверхность интегрирования – часть плоскости xoy, ограниченную астроидой.

9. Доказать, что поле вектора соленоидально, если , - дифференцируемые скалярные функции.

10. Найти , где , -радиус-вектор точки,

Вариант №6

1. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид , где “а” и “b” - константы. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случае a > 0, b > 0?

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу вектора силы при перемещении по линии .

6. Вычислить поток поля через часть поверхности лежащую в II октанте и отсеченную плоскостями z = 0, z = 1 в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через часть поверхности , отсеченную плоскостью z = -2, в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую в первом октанте, образованную параболоидом а за контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью x = 0.

9. Доказать, что где - дифференциальная функция.

10. Найти и , для поля вектора , где

- радиус-вектор точки.

Вариант №7

1. Потенциальная энергия части имеет вид , где - модуль радиуса - вектора частицы, - постоянная величина. Найти силу действующую на частицу. Какую форму имеют поверхности, для которой модуль вектора силы постоянен? Изобразить эти поверхности для случаев

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить циркуляцию вектора вдоль контура .

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через границу выпуклой области, заключенной между поверхностями и , в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – поверхность цилиндра и .

9. Доказать, что если , - дважды дифференцируемые скалярные функции.

10. Найти и , для поля вектора , где

- радиус-вектор точки.

Вариант №8

1. Потенциал энергия частицы имеет вид Найти силу , действующую на частицу. Построить эквипотенциальные поверхности в случае u = 0, u = 1, u = 4.

2. Найти производную функции в точке в направлению градиента функции .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу вектора силы при перемещении по меньшей дуге кривой от точки к точке .

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в II октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через часть поверхности , отсеченную плоскостью z = 2, в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования часть параболы и замыкающей её прямой z = 2, x = 0, а за поверхность интегрирования часть поверхности z = 2, ограниченную этим контуром.

9. Доказать, что где , - дифференцируемые функции. Проверить, что .

10. Для поля вектора найти потенциал, , и векторные линии, если - радиус-вектор точки.

Вариант №9

1. Потенциал энергия частицы имеет вид Найти силу , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае

2. Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей тупой угол с положительным направлением оси Oz .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу вектора силы при перемещении по кривой от точки к точке

6. Вычислить поток поля через плоский четырех с вершинами в точках М₁(1,-2,4), М₂(3,2,4), М₃(-1,2,4), М₄(-3,-2,4) в направлении оси Oz.

7. Найти поток поля через замкнутую поверхность, ограничивающую пространственную область , в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – любую поверхность, натянутую на эту окружность.

9. Доказать, что где - дифференцируемая функция.

10. Найти и для вектора где - радиус-вектор точки.

Вариант №10

2. Найти производную скалярного поля по направлению вектора в точке М, если .

3. Показать, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора .

5. Вычислить работу силы при перемещении по прямой из точки к точке

6. Вычислить поток поля через часть поверхности , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями y = 1, y = 4, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля через замкнутую поверхность, ограничивающую область , в направлении внешней нормали.

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора , принимая за контур интегрирования окружность , а за поверхность интегрирования – полусферу, натянутую на этот контур.

9. Вычислить где . Доказать, что пространственное поле вектора будет соленоидальным только тогда, когда

10. Найти , где - постоянный вектор, .