![]()
|
|||
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. К РАСЧЕТУ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РАСЧЕТУ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по курсу «Строительная механика» для студентов специальностей 291100, 291000, 290300, 290600
Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета
Саратов 2009 ВВЕДЕНИЕ
Известно, что при расчете упругих статически неопределимых стержневых систем методом сил [1, 2, 3] за лишние неизвестные принимаются усилия в «лишних» связях (силы и моменты). После нахождения лишних неизвестных определяются внутренние усилия в любом сечении системы и затем линейные и угловые перемещения в произвольной точке системы. Таким образом, при расчете упругих стержневых систем по методу сил определение усилий предшествует определению перемещений. Метод перемещений, называемый также методом деформаций, предусматривает для упругих стержневых систем сначала нахождение угловых и линейных перемещений узлов статически неопределимых систем, а затем соответствующего им распределения внутренних усилий. При этом, как и в методе сил, для деформированного состояния стержневой системы принимаются следующие допущения [1, 2, 3]: 1) не учитывается влияние продольных N и поперечных Q сил на пере- мещения узлов системы, что, в частности, соответствует гипотезе о нерастяжимости и несжимаемости всех ее стержней ( 2) расстояния между узлами системы при деформации изгиба прямоли- нейных стержней не изменяются, 3) углы поворота сечений системы по малости принимаются равными тангенсам данных углов, 4) концы стержней, сходящихся в жестком узле системы, поворачива- ются при деформации системы на одинаковый угол. Метод перемещений получил большое распространение при расчете сложных многократно статически неопределимых систем с малой подвижностью узлов, к которым относятся фермы с жесткими узлами, сложные каркасные рамы, жесткие пространственные стержневые системы. При этом число неизвестных по методу перемещений, как правило, существенно меньше числа неизвестных по методу сил, что наглядно демонстрирует выгоды использования метода перемещений в расчетах статически неопределимых систем с большим числом «лишних» связей. Ценность алгоритма метода перемещений состоит также и в том, что на его основе предложен ряд приближенных методов расчета статически неопределимых систем и созданы современные модификации метода конечных элементов (МКЭ), приспособленные для расчета современных стержневых, плоских, оболочечных и пространственных конструкций. В настоящее время известны две формы решения задач по методу перемещений: каноническая и развернутая. Представленная в указаниях каноническая форма метода перемещений аналогична канонической форме записи уравнений метода сил [1, 2, 3] и развита в трудах отечественных ученых А.А. Гвоздева, И.М. Рабиновича и А.Ф. Смирнова. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Объектом исследования является метод перемещений в применении для расчета статически неопределимых рам на силовые воздействия, изменения температурного режима и осадки опор. В процессе выполнения работы: - изучается методика определения числа неизвестных по методу перемещений (степени кинематической неопределимости рамы); - изучается методика образования основной системы метода перемещений; - изучаются вопросы составления канонических уравнений метода перемещений; - изучаются вопросы построения «единичных» и «грузовых» эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений; - изучаются вопросы вычисления коэффициентов канонических уравнений метода перемещений и их проверки; - изучаются вопросы построения расчетных эпюр внутренних усилий M, Q, N в статически неопределимой раме и их проверки; - изучаются вопросы определения перемещений в статически неопределимой раме; - изучаются вопросы использования симметрии рам для упрощения их расчета по методу перемещений; - изучаются вопросы расчета рам с наклонными стойками.
ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ
Для статически неопределимой рамы требуется провести расчеты по методу перемещений на силовые воздействия, на изменения температурного режима и на осадки опор, предусматривающие выполнение следующих пунктов задания: 1) определение степени кинематической неопределимости рамы, равной числу неизвестных по методу перемещений, 2) образование основной системы метода перемещений, 3) составление канонических уравнений метода перемещений, 4) построение в основной системе эпюр изгибающих моментов 5) построение в основной системе эпюр изгибающих моментов 6) подсчет величин коэффициентов канонических уравнений 3 7) решение системы канонических уравнений метода перемещений для определения величин искомых угловых и линейных перемещений узлов 8) построение расчетных эпюр внутренних усилий M, Q, N от заданной силовой нагрузки, 9) выполнение проверок расчетных эпюр M, Q, N, 10) определение перемещений в заданных сечениях статически неопределимой рамы.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Условимся называть степенью кинематической неопределимости «n» число неизвестных узловых перемещений системы, знание которых позволяет полностью определить деформированное состояние системы. Для упругих систем это дает возможность определить также все усилия. Степень кинематической неопределимости определяется по формуле: где Жесткими являются такие узлы рамы, в которых концы не менее двух сходящихся в нем стержней соединены сваркой или спайкой (рис. 1).
Рис. 1
С учетом допущения о нерастяжимости и несжимаемости стержней рамы, что соответствует бесконечно большой величине жесткости стержней на растяжение-сжатие Для определения величины где Д – число «дисков» (стержней), Ш – число «простых» шарниров, объединяющих два диска (стержня), Следует помнить, что полный (сложный) шарнир, соединяющий шарнирно в узле концы «к» дисков (стержней), эквивалентен «к-1» простому шарниру, объединяющему в узле лишь два стержня рамы. Кроме того, при введении шарниров в узлы рамы все статически определимые консоли рамы необходимо предварительно отбросить.
Рис. 2
Например, для рамы (рис. 2 а) преобразованная схема приведена на рис. 2 б и включает в себя: 1) Д = 5 – пять дисков (с учетом двух отброшенных консолей), 2) Ш = 4 – четыре «простых» шарнира (с учетом объединения слож- ным шарниром в узле «2» трех дисков), 3) неподвижной опоре). В результате по формуле (2) получаем степень свободы преобразованной системы равной
что соответствует возможности линейного горизонтального смещения узлов 1, 2, 3 на одну и ту же величину, так как по допущению «1» жесткость всех стержней рамы на растяжение и сжатие бесконечно велика ( Таким образом, выявлено, что для рамы с рис. 2 а величина Данная величина n равна степени кинематической неопределимости исходной системы, то есть сумме общего числа независимых угловых перемещений жестких узлов рамы и общего числа независимых поступательных перемещений узлов рамы. 5 Для образования основной системы метода перемещений в исходную систему необходимо ввести « 1) отдельные стержни устраняют линейные смещения узлов и изобра- жаются на схемах в виде вертикальных или горизонтальных опорных стерженьков, 2) «шайбы», эквивалентные «плавающим» заделкам, не допускающим поворота узлов, устраняют их угловые перемещения, не влияя на линейные смещения узлов, и изображаются на схемах в виде квадрата ( Введение «
Рис. 3
Например, для рамы (рис. 4 а) со степенью кинематической неопределимости
Рис. 4
Следует помнить, что в исходной статически неопределимой системе перемещения конкретного сечения любого стержня вызывают перемещения всех сечений других стержней за счет угловых и линейных смещений узлов системы. В отличие от этого в основной системе метода перемещений деформации каждого стержня независимы от деформаций других стержней, что существенно облегчает расчет статически неопределимой системы. Для составления канонической системы уравнений метода перемещений на основную систему необходимо наложить условия эквивалентности работы с исходной системой. Так как в исходной системе имеют место повороты и поступательные смещения узлов, то основной системе надо задать такие же повороты и смещения. Тогда реакции во всех дополнительно введенных «
Запись уравнений (3) соответствует полной эквивалентности напряженно-деформированных состояний основной и исходной систем. На основе использования принципа суперпозиции (независимости действия сил) уравнения (3) можно переписать в развернутом виде:
где Для определения величин коэффициентов уравнений (4) необходимо построить в основной системе метода перемещений эпюры изгибающих моментов Необходимо отметить, что приведенные в приложении реактивные усилия по концам данных стержней записаны через погонные изгибные жесткости стержней, подсчитываемые по формуле:
где Кроме того, погонные изгибные жесткости всех стержней основной системы необходимо выразить через базовую (основную) погонную жесткость одного из стержней по формуле:
Это позволяет выразить все узловые реакции и моменты в основной системе от действия единичных перемещений
Рис. 5
Например, для основной системы метода перемещений (рис. 5) с учетом длины наклонной стойки «3 – d», равной величины погонных изгибных жесткостей стержней будут равны:
Далее необходимо изобразить деформационные схемы основной системы метода перемещений от единичных смещений Затем требуется построить эпюры «единичных» изгибающих моментов Следует помнить, что ординаты данных табличных эпюр для конкретного «к» - го стержня необходимо умножить на соответствующий ему коэффициент
Для подсчета в уравнениях (4) величин
системе метода перемещений необходимо построить «грузовые» эпюры изгибающих моментов от соответствующих воздействий. При этом вновь необходимо использовать приведенные в приложении к указаниям результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней. Методики непосредственного подсчета величин коэффициентов
ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ НА СИЛОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Покажем применение алгоритма метода перемещений на примере [6] расчета на внешние силовые воздействия статически неопределимой рамы, показанной на рис. 6 а.
Рис. 6
Данной рама характеризуется степенью статической неопределимости что соответствует трем дополнительным неизвестным по методу сил. Между тем по методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь
что приводит к решению системы двух алгебраических уравнений для нахождения угла поворота среднего жесткого узла рамы Для образования основной системы метода перемещений в жесткий средний узел рамы ставим угловую связь «шайбу», препятствующую его повороту, и дополняем правый верхний узел рамы линейной связью в виде опорного стерженька, устраняющую линейную подвижность узлов ригеля. 9 Полученная таким образом основная система метода перемещений приведена на рис. 6 б. Неизвестными, число которых совпадает с числом добавленных связей, являются угол поворота среднего жесткого узла рамы Канонические уравнения метода перемещений, отрицающие наличие реакций в дополнительно введенных связях, при
Для определения величин коэффициентов при неизвестных Подсчитываем погонные изгибные жесткости стержней основной системы по формуле (5) и получаем: Выражая и приводим их значения на основной системе (рис. 6 б). Деформированное состояние основной системы от единичного угла поворота дополнительной связи «1» приведено на рис. 7 а, где также показана «единичная» эпюра изгибающих моментов Деформированное состояние основной системы от единичного линейного смещения в направлении дополнительной связи «2» приведено на рис. 7 б, на котором также показана «единичная» эпюра изгибающих моментов
Для определения величины реакции Для определения величины реакции
Рис. 7
В соответствии с теоремой о взаимности реакций, предложенной в 1873 г. Рэлеем и записываемой в виде Для определения величины реакции Таким образом, ригель передает на стойки в их верхних сечениях силы, действующие направо. В соответствии с законом Ньютона стойки передают на ригель равные по величине силы, направленные налево и показанные на рис. 7 г. Из условия равновесия отсеченного ригеля находим: Следует помнить, что величина реакции в дополнительной связи положительна, если ее направление совпадает с выбранным направлением перемещения Грузовая эпюра При этом из условия равенства нулю суммарного момента в шайбе «1» находим величину Изложенный выше способ вычисления величин коэффициентов и грузовых слагаемых канонических уравнений метода перемещений называется статическим. Для проверки полученных значений где Отметим, что вычисление величин определенных интегралов (8) можно осуществить по формуле Симпсона или по способу Верещагина. Изложенная методика подсчета величин Для рассматриваемого примера система канонических уравнений (7) после подстановки вычисленных значений
12 Решая данную систему уравнений, находим величины перемещений: Для построения расчетной эпюры изгибающих моментов в раме необходимо промасштабировать единичные эпюры моментов, умножив их на вычисленные величины узловых перемещений, и сложить их с эпюрой грузовых моментов
принимающую в случае рассматриваемого примера с n = 2 вид: Построенная по данной формуле расчетная эпюра изгибающих моментов
Рис. 8
По методике, аналогичной используемой в методе сил, по расчетной эпюре изгибающих моментов M строится расчетная эпюра поперечных (перерезывающих) сил Q (рис. 8 б), а затем с использованием ординат эпюры Q строится расчетная эпюра продольных сил N (рис. 8 в). 13 Для проверки правильности построения расчетных эпюр M, Q, N необходимо: 1) рассмотреть поочередно все узлы рамы и удостовериться в выполне- нии для них уравнений равновесия: 2) провести статическую проверку равновесия рамы: освободить раму от опорных закреплений, заменив их реакциями опорных связей, и проверить условия равновесия всей рамы с учетом внешней нагрузки (рис. 8 г): 3) провести кинематическую проверку расчетной эпюры M, заклю- чающуюся в выполнении условия:
где Для рассматриваемой рамы эпюра
Рис. 9
Выполнение всех перечисленных проверок расчетных эпюр M, Q, N свидетельствует о правильности расчета статически неопределимой рамы методом перемещений на действие внешних силовых нагрузок. На основании расчетных эпюр M, Q, N проверяется прочность характерных сечений рамы и определяются величины характерных перемещений в раме. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ НА ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА
Наряду с внешними силовыми воздействиями статически неопределимые рамы подвергаются также изменениям температурного режима, причем возникающие при этом напряжения зачастую сопоставимы с напряжениями от внешних нагрузок. Покажем применение алгоритма метода перемещений на примере [4] расчета на изменения температурного режима статически неопределимой рамы, показанной на рис. 10 а.
Рис. 10 Данной рама характеризуется степенью статической неопределимости что соответствует пяти дополнительным неизвестным по методу сил. Между тем по методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь
что приводит к решению системы двух алгебраических уравнений для нахождения угла поворота среднего жесткого узла рамы Для образования основной системы метода перемещений в жесткие средний и правый узлы рамы ставим угловые связи «шайбы», препятствующие их повороту. Полученная таким образом основная система метода перемещений приведена на рис. 10 б. Канонические уравнения метода перемещений при расчете рамных систем на действия температуры имеют вид:
Коэффициенты при неизвестных Для рамы (рис. 10 а) принимаем внутреннюю и внешнюю температуры равными Считаем в дальнейшем, что температура линейно изменяется по высоте сечения Для стержней рамы из рассматриваемого примера (рис. 10 а) величины средних температур и температурных перепадов будут равны: 1) для обоих ригелей 2) для левой стойки 3) для правой стойки Весьма ответственным этапом расчета на температурные воздействия является построение эпюры изгибающих моментов от температуры Эпюру Например, для ригелей рамы и ее правой стойки разность температур одинакова и равна
Так как для левой стойки рамы Для построения эпюры 1) для стержня 0-1 правая заделка смещается вверх на величину уд- линения стойки 1-3 от действия 2) для стержня 1-2 левая стойка удлиняется на величину вая– удлиняется на величину 3) для стержня 1-3 верхний узел сместится вправо на величину удли- нения ригеля 0-1, равного 4) для стержня 2-4 смещение верхнего узла равняется сумме удлине- ний стержней 0-1 и 1-2 от действия средней температуры Суммируя ординаты эпюр от неравномерного нагрева
|
|||
|