Комплект билетов. по геометрии для выпускников 9 классов. общеобразовательных учреждений Российской Федерации

Комплект билетов

по геометрии для выпускников 9 классов

общеобразовательных учреждений Российской Федерации

Билет № 1

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых

третьей прямой. Свойство внутренних односторонних углов.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема косинусов (доказательство). Следствия из теоремы косинусов.

3. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

4. В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ. Через середину М этой хорды проходит прямая, пересекающая окружность в точках С и Е.

Известно, что СМ = 9 см, <АСВ = 30°. Найдите длину отрезка СЕ.

Билет № 2

1. Вертикальные углы: определение и свойство.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема синусов (доказательство).

Следствия из теоремы синусов.

3. Углы АDC и ABC вписаны в окружность. Какой может быть величина

угла ADC, если известно, что <ABC = 56°?

4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (АD – большее основание, АВ┴АD).

Площадь трапеции равна 150√3 см², <CDA = ∠BСA = 60°. Найдите диагональ АС.

Билет № 3

1. Смежные углы: определение и свойства.

2. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора (доказательство).

3. Найдите площадь круга, если длина окружности равна 8π см.

4. Площадь параллелограмма равна 45√3 см2, <А = 60°, АВ : АD = 10 : 3.

Биссектриса угла А пересекает сторону параллелограмма в точке М. Найдите длину отрезка АМ.

Билет № 4

1. Треугольник: определение и виды. Равные треугольники (определение). Признаки равенства треугольников.

2. Теорема Фалеса (доказательство).

3. Величины углов АВС и КВС относятся как 7 : 3, а их разность равна 72°. Могут ли эти углы быть смежными?

4. Найдите радиус окружности, вписанной в параллелограмм, если его

диагонали равны 12 см и 3√2 см.

Билет № 5

1. Параллелограмм: определение и признаки.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника (доказательство).

3. В равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите

углы треугольника ABD.

4. Найдите диагональ А1А3 правильного восьмиугольника А1А2…А8, если площадь треугольника А1А2А5 равна 9√2 м.

Билет № 6

1. Параллелограмм: определение и свойства.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник (доказательство).

3. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34°. Найдите углы этого треугольника.

4. Диагонали трапеции АВМК пересекаются в точке О. Основания трапеции ВМ и АК относятся соответственно как 2 : 3. Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника АОВ равна 12 см².

Билет № 7

1. Прямоугольник: определение и свойства.

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство).

3. Найдите сторону ромба, если известно, что его диагонали равны 24 см и 32 см.

4. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

Билет № 8

1. Прямоугольник: определение и признаки.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (доказательство).

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 6√3 см, а один из острых углов в два раза больше другого.

4. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20 см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9 см.

Билет № 9

1. Ромб: определение и признаки.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема о сумме углов треугольника (доказательство).

3. Найдите длину окружности, если известно, что площадь круга равна 18π см2.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что BD = BC = 15 см, СР = 12 см.

Билет № 10

1. Внешний угол треугольника: определение и свойство.

2. Трапеция: определение и виды. Вывод формулы площади трапеции.

3. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 4320°.

4. В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 60°, ВС = 10 см, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите длину отрезка КМ.

Билет № 11

1. Подобные треугольники (определение). Признаки подобия треугольников.

2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника (доказательство).

3. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 8 см и 6 см.

4. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 14 см, боковая сторона равна 4√2 см, а одно из оснований трапеции является диаметром описанной

окружности.

Билет № 12

1. Медиана, биссектриса и высота треугольника: определения и свойства.

2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника.

3. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4 см.

Найдите периметр этого треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 26 см.

4. Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

Билет № 13

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Параллелограмм. Формулы площади параллелограмма. Вывод формулы площади параллелограмма (одной по выбору учащегося).

3. Найдите угол между векторами и , заданными своими координатами и .

4. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 48 см. Найдите радиус вписанной в него окружности, если радиус описанной около него окружности равен 25 см.

Билет № 14

1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

3. Найдите стороны треугольника, периметр которого равен 5,5 см, если известно, что стороны подобного ему треугольника равны 0,4 см, 0,8 см и 1 см.

4. Найдите площадь параллелограмма КМNO, если его большая сторона равна 4√2 см, диагональ МO равна 5 см, а угол МКО равен 45°.

Билет № 15

1. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Ромб. Вывод формулы площади ромба.

3. Какие целые значения может принимать длина стороны АС треугольника АВС, если известно, что АВ = 2,9 см, ВС = 1,7 см? Ответ объясните.

4. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24√3 см², вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Билет № 16

1. Окружность (определение). Центр, радиус, диаметр окружности. Взаимное расположение окружности и прямой.

2. Формулы площади треугольника. Вывод формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними.

3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

4. Средняя линия трапеции равна 15 м, сумма углов при одном из оснований равна 90°. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна √10 м, а разность оснований равна 10 м.

Билет № 17

1. Окружность (определение). Хорда окружности. Касательная к окружности: определение и свойства.

2. Трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции (доказательство).

3. Стороны прямоугольника равны 72 см и 8 см. Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

4. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что сумма углов В и С равна углу АКВ, АК = 5 м, ВК = 16 м и КС = 2 м. Найдите сторону АВ.

Билет № 18

1. Понятие о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр к отрезку: определение и свойство.

2. Ромб. Свойства диагоналей ромба (доказательство одного из них по выбору учащегося).

3. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найдите основания трапеции.

4. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3√2 м, ВС = 10 м, РМАС = 45°.

Билет № 19

1. Взаимное расположение прямых. Перпендикулярные прямые: определение и свойства.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным двум сторонам и углу.

3. Найдите углы ромба, если известно, что его периметр равен 8 см, а высота ромба равна 1 см.

4. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м. Найдите площадь трапеции.

Билет № 20

1. Взаимное расположение прямых. Параллельные прямые: определение и свойства.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным стороне и двум углам.

3. Найдите площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 3 см.

4. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ равна 11 м. Найдите меньшее основание трапеции.

Билет № 21

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Свойство внутренних накрест лежащих углов.

2. Равнобедренный треугольник. Признак равнобедренного треугольника (доказательство).

3. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину этой окружности.

4. Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45°.

Билет № 22

1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от заданной точки до данной прямой.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным трем сторонам.

3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 56 см.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен (√7)/4

Билет № 23

1. Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов.

2. Круг. Площадь круга. Вывод формулы площади сектора.

3. Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 60°, а меньшая диагональ равна 5 см.

4. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160 м2, боковая сторона равна 20 м. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

Билет № 24

1. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.

2. Центральный и вписанный углы. Свойство вписанного угла окружности.

3. Найдите высоту равнобедренной трапеции, если известно, что ее основания равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см.

4. В треугольнике СЕН <С = 45°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ = 2 м и ЕТ = 14 м, <СНТ = <СЕН. Найдите площадь треугольника СНТ.

Билет № 25

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника (доказательство).

3. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 6 см.

4. В остроугольном треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка М, такая, что <С = <АВМ. Найдите сторону АВ, если известно, что сторона АС = 9 м, а отрезок АМ = 4 м.

Отметка «5»ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы и решил вторую задачу или обе задачи билета.

Отметка «4»ставится, если ученик ответил на оба теоретических вопроса и решил первую задачу или ответил только на один теоретический вопрос, но решил вторую или обе задачи билета.

Отметка «3»ставится, если ученик ответил на первый теоретический вопрос и решил первую задачу или ответил на два теоретических вопроса.

Во всех остальных случаях ставится отметка «2».