Лекция 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Лекция 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

СООТВЕТСТВИЯ

1. Соответствия и их свойства.

1. Соответствия и их свойства

Соответствие - способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями). Частными случаями соответствий являются функции, отображения, преобразования, операцияи др.

Соответствием между множествами А и В называется подмножество G прямого произведения этих множеств: G Í A´B. Если (a, b)Î G, то говорят, что "b соответствует а при соответствии G ".

Область определениясоответствия G - множество пр₁ G = {а :(a, b)Î G}. Область значенийсоответствия G -множество пр₂ G = {b:(a, b)Î G} (рис.1).

Свойства соответствий G Í A´B:

• Всюду (полностью) определенноесоответствие - если пр₁ G = А. Частично определенноесоответствие - в противном случае.

• Сюръективноесоответствие - если пр₂ G = В.

Образом элементаав множество В при соответствии G называется множество всех b Î В, соответствующих элементу а Î А. Прообразом элемента bв множество А при соответствии G называется множество всех а Î А, которым соответствует b Î В.

Рис.1

Образом множества С Î пр₁ G называется объединение образов всех элементов а Î С. Прообразом множества D Î пр₂ G называется объединение прообразов всех элементов b Î D.

• Функциональное (однозначное) соответствие - если образом любого элемента а из области определения np₁G является единственный элемент b из области значений пр₂G.

• Взаимно однозначное соответствие - если оно:

а) всюду определено;

б) сюръективно;

в) функционально;

г) прообразом любого элемента b из области значений пр₂ G является единственный элемент а из области определения пр₁ G.

Если между множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. | А | = | В |. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны. Этот факт позволяет:

• установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;

• вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.

12 Следующая ⇒