Вопросы к экзамену по спец. курсу

Вопросы к экзамену по спец. курсу

"Элементы нелинейного функ. анализа", часть 1

( КФА, 4–й курс, 2020–21 учеб. год )

	Нормированные пространства: определение, примеры. Определение банахова пространства.
	Линейные ограниченные операторы: определение, примеры. Норма оператора. Связь ограниченности оператора с его непрерывностью.
	Определение производной Фреше отображения, действующего в нормированных пространствах. Единственность производной Фреше (с доказательством). Примеры (вычисления производных).
	Теорема о производной Фреше композиции отображений (с доказательством). Примеры.
	Определение дифференциала и производной Гато отображения, действующего в нормированных пространствах. Пример.
	Связь между производной Фреше и производной Гато. Пример отображения, дифференцируемого по Гато, но не дифференцируемого по Фреше (в даннной точке).
	Теорема о дифференцируемости по Фреше отображения, имеющего непрерывную производную Гато (без док-ва).
	Теорема о среднем ( обобщение теоремы Лагранжа ) (с доказательством).
	Производные высших порядков отображения, действующего в банаховых пространствах.
	Представление второй производной в виде билинейного отображения, симметричность второй производной (с доказательством).
	Определение гладкого отображения и диффеоморфизма. Примеры диффеоморфизмов.
	Теорема об обратном отображении (о локальном диффеоморфизме) (без док-ва).

Список литературы ( см. https://vk.com/nelinan )

1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа – М.: Высшая школа. – 1982. – 272 c.

2. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.