ТЕМА: Отношения следования и равносильности между предложениями

ТЕМА: Отношения следования и равносильности между предложениями

Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел. Рассмотри взаимосвязь этих предложений.

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что х кратно 2. Это мы можем утверждать, потому что знаем – при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.

Определение. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна.

Если А и В – высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.

Для обозначения отношения логического следования используется знак ⇒. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) ⇒ В(х), прочитать которое можно по-разному:

1) Из А(х) следует В(х).

2) Всякое А(х) есть В(х).

3) Если А(х), то В(х).

4) В(х) есть следствие А(х).

5) А(х) есть достаточное условие для В(х).

6) В(х) есть необходимое условие для А(х).

Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулировать еще так:

· Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

· Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

· Кратность число 2 есть следствие кратности его 4.

· Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

· Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Последние два предложения часто формулируют в следующей форме:

· Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4.

· Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2.

Так как одно и то же утверждение «из А(х) следует В(х)» можно прочитать по-разному, надо уметь переходить от одной его формулировки к другой, не меняя смысла.

Задание 1. Данные предложения переформулируйте, используя различные способы прочтения утверждения А(х) ⇒ В(х):

Всякий квадрат является прямоугольником.

Решение.

А(х) – «четырехугольник – квадрат» и В(х) – «четырехугольник – прямоугольник».

1) Из того, что четырехугольник – квадрат, следует, что он прямоугольник.

2) Если четырехугольник – квадрат, то он прямоугольник.

3) Четырехугольник является прямоугольником – это следствие того, что четырехугольник – квадрат.

4) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы он был квадратом.

5) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником.

Как и любое высказывание, предложение А(х) ⇒ В(х) может быть истинным или ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А(х) есть В(х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера – что оно ложно.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х). Для обозначения отношения равносильности используется знак ⇔. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) ⇔ В(х), прочитать которое можно по-разному:

1) А(х) равносильно В(х).

2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х).

3) А(х) – необходимо и достаточное условие для В(х).

4) В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:

· Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его записи делится на 3.

· Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) ⇔ В(х) означает, что если Т_А – множество истинности высказывательной формы А(х), а Т_В – множество истинности высказывательной формы В(х), то Т_А = Т_В.

Например, если решить уравнения 3х(х-2) = 0 и 3х(х-2)(х+3) = 0, то можно сказать, что они равносильны на множестве целых неотрицательных чисел, потому что множество их решений {0, 2}.

Заметим, что мы рассматриваем понятия логического следования и равносильности для одноместных высказывательных форм. Для предложений, содержащих две и более переменных, эти понятия определяются аналогично.