Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Примечание редакции.

1.Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним действе в скобках:

Найдём значение выражения:

Ответ: −0,25.

2.Найдите произведение чисел и .

Решение.

Используем свойства степеней:

Ответ: 0,066.

3.Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Решение.

После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1 40 = 44 рубля. Разделим 900 на 44:

Значит, можно будет купить 20 ручек.

Ответ: 20.

4.Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C — температура в градусах по шкале Цельсия, t_F — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствуют 23 градусов по шкале Цельсия?

Решение.

Подставим значение температуры в градусах Цельсия в формулу для перевода:

Ответ: 73,4.

5.Найдите , если и .

Решение.

Поскольку , определяем, что . Тогда

Ответ: 0,2.

6.На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Тюльпаны стоят 45 рублей за штуку. У Вани есть 300 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Решение.

Разделим 300 руб. на 45 руб.:

Тем самым, можно купить 6 тюльпанов. Но поскольку букет должен состоять из нечётного числа цветков, Ваня может купить букет из 5 тюльпанов.

Ответ: 5.

7.Найдите корень уравнения .

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 8,75

8. Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 140 квадратных метров (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?

Решение.

Площадь каждого из участков равна 20 · 30 = 600 кв. м, а площадь пруда равна 140 кв. м. На каждом участке находится половина пруда, занимая 70 кв. м. Поэтому площадь оставшейся части каждого из участков равна 600 − 70 = 530 кв. м.

Ответ: 530.

9.Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ		ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) масса футбольного мяча Б) масса дождевой капли В) масса взрослого бегемота Г) масса телевизора		1) 8 кг 2) 2,8 т 3) 20 мг 4) 750 г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

A	Б	В	Г

Решение.

Упорядочим по возрастанию массы: капля, мяч, телевизор и бегемот. Таким образом, получаем соответствие: А — 4, Б — 3, В — 2, Г — 1.

Ответ: 4321.

10.На олимпиаде по химии участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух аудиториях сажают по 140 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение.

Всего в запасную аудиторию направили 400 − 140 − 140 = 120 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 120 : 400 = 0,3.

Ответ: 0,3.

11.На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 580 миллиметров ртутного столба?

Решение.

Давлению в 580 мм. рт. ст. соответствует высота в 2 км.

Ответ: 2.

12.Строительный подрядчик планирует купить 15 тонн облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

Поставщик	Цена кирпича (руб. за шт)	Стоимость доставки (руб.)	Специальные условия
А			Нет
Б			Если стоимость заказа выше 50 000 руб., доставка бесплатно
В			При заказе свыше 60 000 руб. доставка со скидкой 50%.

Решение.

Необходимо купить 15000 : 5 = 3000 кирпичей.

Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 17 · 3000 = 51 000 руб. и стоимости доставки. Всего 51 000 + 7000 = 58 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 18 · 3000 = 54 000 руб. и доставка бесплатна.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 19 · 3000 = 57 000 руб. и стоимости доставки и равна 57 000 + 5000 = 62 000 руб.

Таким образом, наиболее дешевый вариант составит 54 000 руб.

Ответ: 54 000.

13.Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1 : 2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Решение.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него конус подобный данному. Точка делит высоту в отношении 1 : 2, поэтому высоты отсеченного и исходного конусов относятся как 1 : 3.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому объем отсеченного конуса в 27 раз меньше исходного. Следовательно, он равен 54 : 27 = 2. Поэтому объем оставшейся части конуса, которая примыкает к его основанию, равен 54 − 2 = 52.

Ответ: 52.

14.На рисунках изображены графики функций вида Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ

УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 0,25

2) 2,5

3) −0,5

4) −4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	Б	В	Г

Решение.

Если прямая задана уравнением то при k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает. Таким образом, имеем: A — 1, Б — 3, В — 2, Г — 4.

Ответ: 1324.

15.

В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Следовательно, треугольник COD — равнобедренный с углом при вершине равным 104°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому сумма равных углов при основании треугольника COD равна: Откуда получаем: Следовательно, острый угол между диагоналями равен 38°, а тупой угол между диагоналями равен 142°.

Ответ: 38 (или 142).

Примечание редакции.

Авторам задания следовало бы уточнить, какой из углов необходимо записать в ответ.

16. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

Найдём апофему пирамиды:

Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:

Ответ: 180.

17.На прямой отмечены точки A, B, C и D.

Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.

ТОЧКИ		ЧИСЛА
A B C D		1) 2) 3) 4)

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	B	C	D

Решение.

Рассмотрим соотношения:

Ответ: 3124.

18.В посёлке городского типа всего 17 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но не меньше 5 метров. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) В посёлке есть жилой дом высотой 25 метров.

2) Разница в высоте любых двух жилых домов посёлка больше 6 метров.

3) В посёлке нет жилого дома высотой 4 метра.

4) Высота любого жилого дома в посёлке не меньше 3 метров.

Решение.

Рассмотрим представленные утверждения:

1) В посёлке есть жилой дом высотой 25 метров — неверно, т. к. высота каждого дома меньше 25 метров.

2) Разница в высоте любых двух жилых домов посёлка больше 6 метров — неверно, т. к. могут быть дома с разницей в 1 м или одинаковые, например.

3) В посёлке нет жилого дома высотой 4 метра — верно, т. к. высота каждого дома не меньше 5 метров.

4) Высота любого жилого дома в посёлке не меньше 3 метров — верно, т.к. высота каждого дома не меньше 5 метров.

Ответ: 34.

19.На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

□+□□+□□□

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Решение.

Чтобы сумма делилась на 10 она должна заканчиваться на 0. Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 9, 9, 2 и 1, 3, 6. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай 1: комбинация 9, 9, 2.

9+□9+□□2

Остальные цифры 1, 3, 6 можно расположить таким образом: 9 + 19 + 362 = 390, 9 + 19 + 632 = 660, 9 + 39 + 162 = 210, 9 + 39 + 612 = 660, 9 + 69 + 132 = 210, 9 + 69 + 312 = 390. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай 2: комбинация 1, 3, 6.

1+□3+□□6

Остальные цифры 2, 9, 9 можно расположить таким образом: 1 + 23 + 996 = 1020, 1 + 93 + 926 = 1020, 1 + 93 + 296 = 390.

Ответ: 210, 390, 660, 1020.

20.Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 186. Какое число было загадано?

Решение.

Числа А, В и С могут быть равны 7, 8 или 9.

Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С = 186 или Х · А = 186 + (С – В). Рассмотрим различные случаи.

1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 8 – 8 = 0 или 9 – 9 = 0), тогда Х · А = 186. Число 186 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

2) С – В = 1 (8 – 7 = 1 или 9 – 8 = 1), тогда Х · А = 187. Число 187 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

3) С – В = –1 (7 – 8 = –1 или 8 – 9 = –1), тогда Х · А = 185. Число 185 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

4) С – В = 2 (9 – 7 = 2), тогда Х · А = 188. Число 188 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

5) С – В = –2 (7 – 9 = –2), тогда Х·А = 184. Число 184 делится нацело на A = 8, значит, Х = 23.

Ответ: 23.

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

-0,25

0,066

73,4

0,2

8,75

0,3

38|142

210|390|660|1020