Теорема Нортона

Теоремы Тевенина и Нортона.

В первой лекции цикла «Методы расчёта электрических цепей» было сказано, что умение читать электрические схемы в конечном итоге кроме знания условных графических изображений электрических элементов сводится к умению любой её точке увидеть схему

Рис.15

Теоремы Тевенина и Нортона, как раз используют эту идею. Второе условие, может быть даже ограничение, то, что цепи (схемы) должны быть линейными, то есть подразумевается использование для их анализа только линейных уравнений (не содержащих степени или корни). А это означает, что они должны содержать пассивные компоненты (резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы). Существуют пассивные элементы нелинейные, например, варисторы (резисторы изменяющие своё сопротивление при изменении поданного на них напряжения).

Теорема Тевенина утверждает, что любая линейная электрическая цепь, состоящая из комбинации источников напряжения и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения и одним резистором, которые соединены последовательно и подключены к нагрузке.

Теорема Тевенина будет полезна при анализе схем, в которых величина одного конкретного сопротивления (для удобства мы назовем его "нагрузкой") подвержена периодическим изменениям, и после каждого такого изменения возникает необходимость определения напряжения и тока на данном компоненте. В качестве примера мы снова рассмотрим схему:

Рис. 15

(Буквы E и R означают сопротивление, выраженное в Ом)

Давайте предположим, что в качестве "нагрузки" здесь выступит резистор R₂. В нашем распоряжении уже имеется четыре инструмента (Метод узловых и контурных уравнений, Метод контурных токов, Теорема Миллмана и Метод наложения), при помощи которых можно определить напряжение на резисторе R₂ и проходящий через него ток. Однако, применение любого из этих методов займет массу времени.

Рис. 16 Рис. 17

Теорема Тевенина позволяет значительно облегчить данную задачу. Все что нужно сделать - это убрать нагрузочный резистор из исходной схемы (см. рис. 16) и упростить ее до эквивалентной, состоящей из одного источника питания и одного резистора, включенных последовательно. После преобразования "нагрузка" подключается к эквивалентной схеме (см. рис. 17), и расчеты производятся в рамках простой последовательной цепи.

"Эквивалентная схема Тевенина" является электрическим аналогом исходной схемы, состоящей из GB₁, R₁, R₃ и GB₂, и вести себя она будет точно так же (если преобразование выполнено правильно). Другими словами, сопротивление нагрузки (R₂), напряжение на ней, и проходящий через неё ток должны быть одинаковыми в обоих схемах.

Определить напряжение и ток "нагрузки" в Эквивалентной схеме Тевенина намного легче, чем в исходной схеме. Для этого, нам сначала нужно рассчитать напряжение источника питания (U_{Тевенина}) и значение последовательного сопротивления (R_{Тевенина}) эквивалентной схемы. Делается это довольно просто. Во-первых, из исходной схемы удаляется сопротивление нагрузки (заменяется обрывом цепи) (см. рис. 16).

Далее, мы рассчитываем напряжение между двумя точками образовавшегося разрыва. Для этой цели можно использовать любые известные методы анализа. Так как в нашем случае (после удаления сопротивления нагрузки) получилась простая последовательная цепь, с двумя противоположными батареями, мы применим Закон Ома и Второй Закон Кирхгофа:

E₁-E₂=I·(R₁+R₃), отсюда I=(E₁-E₂)/(R₁+R₃) =(28-7)/(4+1) =21/5 =4,2 А и U_R₁= I·R₁=4,2·4=16,8 В, U_R₃= I·R₃ = 4,2·1=4,2 В.

Рис. 18

Итоговое значение, показанное на схеме, рис. 18 и составляющее 11,2 вольта, мы нашли путем сложения напряжений источника питания и резистора из левой части схемы: U_B1 + U_R1 = 28 В + (-16,8 В) = 11,2 В (полярности этих напряжений противоположны, поэтому U_R1 имеет отрицательное значение). Аналогичную цифру мы получим и в том случае, если сложим напряжения источника питания и резистора из правой части схемы: U_B2 + U_R3 = 7 В + 4,2 В = 11,2 В (полярности этих напряжений одинаковы). Это и есть напряжение источника питания или напряжение Тевенина (U_{Тевенина}) эквивалентной схемы (см. рис. 17).

Чтобы найти значение последовательного сопротивления (R_{Тевенина}) эквивалентной схемы, нам нужно взять исходную схему (с уже удаленным сопротивлением нагрузки) и удалить из нее все источники питания, заменив их на перемычки. После этого нам остается рассчитать общее сопротивление оставшихся в схеме резисторов:

Рис. 19

При удалении двух источников напряжения, общее сопротивление схемы будет эквивалентно параллельному соединению резисторов R₁ и R₃, и составит 0,8 Ом. Найденное значение является сопротивлением последовательного резистора или сопротивлением Тевенина (R_{Тевенина}) эквивалентной схемы:

Рис.20 Эквивалентная схема Тевенина

Теперь мы можем определить напряжение и ток на нагрузочном резисторе (2 Ом), который является частью простой последовательной схемы:

	R_{Тевенина}	R_{Нагрузки}	R_Общее
U, В	3,2		11,2
I, А
R, Ом	0,8		2,8

Обратите внимание, что значения напряжения и тока R₂ (8 вольт и 4 ампера) идентичны тем, которые были найдены при помощи других методов анализа данной схемы. Внимание следует обратить и на тот факт, что значения напряжения и сопротивления Тевенина не применимы ни к одному из компонентов исходной схемы. Рассмотренную нами теорему допускается применять только в том случае, когда анализу подвергается всего один компонент схемы.

Теорема Нортона

Теорема Нортона утверждает, что любая линейная электрическая цепь, состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником тока и одним резистором, которые соединены параллельно и подключены к нагрузке.

В качестве примера давайте снова рассмотрим уже хорошо известную нам схему, изображённую на рис. 15.

Преобразуем ее под Теорему Нортона:

Рис. 21. Эквивалентная схема Нортона

Как вы помните, источник тока - это компонент, который создаёт ток, не зависящий от сопротивления нагрузки, к которой он присоединён. Источник тока так же производит и некоторое количество напряжения, необходимого для поддержания заданной величины тока.

По аналогии с Теоремой Тевенина, из исходной схемы убираем нагрузочный резистор и упрощаем ее до эквивалентной. Только в этот раз она будет состоять из одного источника тока и одного резистора, включенных параллельно. Последовательность расчета тока Нортона (I_{Нортона}) и сопротивления Нортона (R_{Нортона}) будет так же соответствовать аналогичной последовательности из Теоремы Тевенина.

Итак, для начала нам нужно идентифицировать сопротивление нагрузки, и убрать его из исходной схемы (см. рис. 16)

Чтобы найти Ток Нортона (для источника тока эквивалентной схемы), необходимо поставить перемычку между двумя точками образовавшегося разрыва. Обратите внимание, что этот шаг противоположен аналогичному шагу Теоремы Тевенина, где нагрузочный резистор был заменен обрывом цепи:

Рис. 22

При нулевом напряжении между точками подключения нагрузки, ток через резистор R₁ будет исключительно функцией напряжения GB₁ и сопротивления R₁, поэтому его величина составит 7 ампер (I = U/R = 28 В / 4 Ом = 7 А). Ток через резистор R3 так же будет зависеть только от напряжения GB₂ и сопротивления R₃, в связи с чем его величина составит 7 ампер (I = U/R = 7 В / 1 Ом = 7 А). Полный ток через перемычку, установленную между точками подключения нагрузки, будет равен сумме этих двух токов: 7 А + 7 А = 14 А. Поученное значение является Током Нортона (I_{Норотона}) эквивалентной схемы:

Рис. 23. Эквивалентная схема Нортона

Сопротивление Нортона (R_{Нортона}) рассчитывается точно так же, как рассчитывалось сопротивление Тевенина: из исходной схемы (без нагрузочного резистора) удаляются все источники питания (заменяются перемычками), после чего определяется общее сопротивление оставшихся в схеме резисторов (см. рис 19).

Подставим полученное значение в эквивалентную схему:

Рис. 24. Расчитанная эквивалентная схема Нортона

Теперь можно определить напряжение и ток на нагрузочном резисторе (2 Ом), который является частью простой параллельной схемы:

	R_{Нортона}	R_{Нагрузки}	R_Общее
U, В
I, А
R, Ом	0,8		571,43

Обратите внимание, что значения напряжения и тока R₂(8 вольт и 4 ампера) идентичны тем, которые были найдены при помощи других методов анализа данной схемы. Внимание следует обратить и на тот факт, что значения тока и сопротивления Нортона не применимы ни к одному из компонентов исходной схемы. Рассмотренную нами теорему допускается применять только в том случае, когда анализу подвергается всего один компонент схемы.

Если внимательно посмотреть, то обе теоремы в принципе одинаковы, разница только в применяемом источнике питания. В теореме Теневина это идеальный источник напряжения, а теореме Нортона - идеальный источник тока.

Поэтому применять терему Теневина удобнее в тех схемах, где величины R_i и R_н близки своими значениями, теорему Нортона там, где величины проводимостей G_i и G_н близки своими значениями.