Метод контурных токов

Метод контурных токов

Метод контурных токов можно применить для расчета сложных электрических цепей, имеющих больше двух узловых точек. На рис. 41, а изображена такая электрическая цепь. В ней три контура, причем средний контур имеет участки, входящие в состав двух соседних контуров, а также участки, которые входят в состав только одного контура.

Рис. 41. Метод контурных токов

Сущность метода контурных токов заключается в предположении, что в каждом контуре проходит свой ток (контурный ток). Тогда на общих участках, расположенных на границе двух соседних контуров, будет протекать ток, равный алгебраической сумме токов этих контуров.

Выберем положительные направления трех контурных токов I_I, I_II и I_III так, как указано на чертеже стрелками. Затем составим уравнения по второму закону Кирхгофа, обходя все три контура в одном направлении, например в направлении движения часовой стрелки.

Для контура I:

Е₁ = I₁r₁ + (I_I - I_II)r₂; (a)

для контура II:

0 = I_IIr₃ + (I_II - I_I)r₂ + (I_II - I_III)r₄; (б)

для контура III:

E₂ = I_IIIr₅ + (I_III - I_II)r₄ (в)

Как мы видим, число уравнений равно числу контуров, т. е. число уравнений меньше, чем при решении задачи по 1-му и 2-му законам Кирхгофа. Решая систему уравнений, находим контурные токи, по которым определяются токи в ветвях: I₁, I₂, I₃, I₄.

Пример 34. Определить, как распределяются токи в цепи, представленной на рис. 41, а, если Е₁ = 14 в, Е₂ = 20 в, r₁ = 3 ом, r₂ = 3 ом, r₃ = 4 ом, r₄ = 2 ом, r₅ = 6 ом.

Решение.

Уравнение для контура I по формуле (а):

14 = 2I_I + (I_I - I_II)3

14 = 2I_I + 3I_I - 3I_II

14 = 5I_I - 3I_II (а')

Уравнение для контура II по формуле (б):

0 = 4I_II + (I_II - I_I)3 + (I_II - I_III)2

0 = 4I_II + 3I_II - 3I_I + 2I_II - 2I_III

0 = 9I_II - 3I_I - 2I_III. (б')

Уравнение для контура III по формуле (в):

20 = 6I_III + (I_III - I_II)2

20 = 6I_III + 2I_III - 2I_I

20 = 8I_III - 2I_II

10 = 4I_III - I_II (в')

Складывая выражения (а') и (б'), получим:

или

Складывая формулы (в') и (г'), получим:

или

Подставляя значение тока I_II в уравнение (в'), получим:

откуда

Подставляя значение тока I_II в уравнение (а'), получим:

откуда

Таким образом, все контурные токи найдены.

Определяем токи на отдельных участках цепи алгебраически, складывая протекающие по ним контурные токи. Токораспределение на отдельных участках цепи показано на рис. 41.