Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям.

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х, и пусть функция u^'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v^'(x) также имеет первообразную и справедлива формула

Или в сокращенном виде

При интегрировании по частям важно правильно выбрать и и dv, чтобы интеграл был проще данного интеграла и был либо табличным, либо сводился к табличному.

Некоторые частные случаи, указывающие правило выбора u и dv:

I. Подынтегральная функция f(x) не разлагается на множители.

Тогда =dх.

Примеры.

1.	.
2.

II. Если интеграл имеет один из видов

или

где k-ой степени относительно x, то функцию принимают за u(x), остальное за dv.

Примеры.

1.
2.
3.

III. Если интеграл имеет один из видов

Примеры:

1.
2.

IV. Циклические интегралы.

В данном случае при интегрировании по частям в правой части получается тот же интеграл, что и в левой части. На этом интегрирование обычно останавливается, а полученное выражение рассматривается как уравнение относительно исходного интеграла. Что выбирать за u, а что за в данном случае безразлично, но если интегрирование по частям идет дважды, то за и(х) надо брать одну и ту же функцию.

К таким интегралам относятся, например, интегралы вида

; и другие.

Примеры:

1.	Таким образом получили соотношение: решаем его относительно интеграла Ответ:
2.	Решая как уравнение относительно
3.	Отсюда

Аналогично вычисляется и .

V. В некоторых интегралах предварительно бывает необходимо сделать замену переменной, после чего он сводится к ранее изученному.

Примеры:

1.
2.	Последний интеграл берем отдельно как циклический. Отсюда Тогда получаем

Во всех остальных случаях выбор и(х) и dv(х) произволен, но только необходимо их выбирать так чтобы был либо табличным, либо сводился к табличному, либо становился проще исходного.

Примеры:

1.
2.