п.3. Формула Байеса

Тема 1.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА БАЙЕСА

План лекции:

Независимость событий.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.

п.1. Независимость событий

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

Простейшие свойства вероятностей:

;
;
;
;
;

Свойства условных вероятностей

;
;
;
если , то ;
;
;
;
.

п.2. Формула полной вероятности

Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть события образуют полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда вероятность любого события того же поля событий равна:

Доказательство. Так как события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде: (это означает, что событие может произойти А только вместе с одним из событий ). Так как события несовместны то:

Пример 1. Детали поступают на конвейер с трех станков. Первый станок производит 25% всех деталей, второй 35% и третий 40% деталей. Первый станок выпускает 1% бракованных деталей, второй 3% , третий 5%. Определить вероятность того, что случайно выбранная с конвейера деталь окажется бракованной.

Решение. Введем обозначения событий: - деталь окажется бракованной; события - деталь изготовлена соответственно первым, вторым или третьим производителем. По условию задачи:

, , ;

, , .

По формуле полной вероятности находим:

п.3. Формула Байеса

Теорема 2 (формула Байеса).Пусть событие , которое могло произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий, наступило. Тогда условная вероятность того, что осуществилась гипотеза равна:

Поскольку данная формула позволяет вычислить апостериорные вероятности по априорным, то ее также называют формулой переоценки гипотез.

Доказательство. По определению условной вероятности:

Пример 3. В условиях примера 1 определить вероятность того, что взятая деталь была изготовлена на первом станке, если она оказалась бракованной.

Решение. Требуется переоценить вероятность гипотезы . По формуле Байеса имеем:

Вероятность стала меньше, поскольку если деталь оказалась бракованной, то более вероятно, что она произведена вторым, либо третьим станком.

Пример 4. В корзине находится один шар - с равной вероятностью белый или черный. В корзину опускается белый шар, и после перемешивания извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что в корзине остался белый шар.

Решение.Пусть гипотеза - в корзине исходно находится белый шар, гипотеза - в корзине находится черный шар. Так как с равной вероятностью в корзине может находиться как белый, так и черный шар, то: . После того, как в корзину был опущен белый шар, вероятность вынуть белый шар (событие ) в предположении гипотезы есть: . Аналогично, вероятность вынуть белый шар в предположении гипотезы : . Следовательно по формуле полной вероятности:

Тогда вероятность, что в корзине остался белый шар (то есть верна гипотеза ):

Пример 5. Два стрелка стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение.Некоторая сложность в данной задаче состоит в том, что мы уже решали аналогичную прямую задачу, не привлекая при этом формулу полной вероятности.

Введем обозначения: - попал в цель только один стрелок, первый стрелок попал в цель, -второй стрелок попал в цель. Тогда: . То есть, можно считать, что событие может наступить в результате осуществления двух гипотез: - попал в цель только первый стрелок, - попал в цель только второй стрелок. Имеем: , , , .

. .