Алгебра (конечные поля)-2020. Лекция № 8

М.И.Рожков

Алгебра (конечные поля)-2020

Лекция № 8

3.11. Теорема (без доказательства). Пусть многочлен ¦ÎK[x] неприводим над полем K.

Тогда существует простое алгебраическое расширение поля K, образующим элементом которого является некоторый корень многочлена ¦.

3.12. Теорема (без доказательства). Пусть a и b - два корня многочлена ¦ÎK[x], который неприводим над полем K. Тогда простые расширения K(a) и K(b) изоморфны, причем изоморфизм осуществляется отображением, переводящим a в b и оставляющим неизменными элементы поля K.

3.13. Определение. Пусть ¦ÎK[x] имеет положительную степень, и пусть F – некоторое расширение поля K.

Многочлен ¦ вполне разлагается в поле F, если существуют a₁,a₂,…,a_nÎF такие, что

¦(x) = a(x-a₁) … (x-a_n),

где a – старший коэффициент многочлена ¦.

Поле F называется полем разложения многочлена ¦ над K, если ¦ - вполне разлагается в поле F и, кроме того, поле F порождается присоединением к полю K корней многочлена f.

На основе теорем 3.11 и 3.12 доказывается следующее утверждение.

3.14. Теорема (без доказательства).

Если ¦ - многочлен положительной степени из K[x], то существует поле разложения многочлена ¦ над K. Любые два поля разложения многочлена ¦ над K изоморфны, и соответствующий изоморфизм оставляет неизменными элементы поля K и осуществляет некоторую перестановку корней многочлена ¦.

!!!

3.15. Теорема. Пусть F – конечное поле. Тогда оно состоит из pⁿ элементов, где простое число p является характеристикой поля F, а натуральное число n является степенью поля F над его простым подполем.

!!!

Доказательство. Пусть e – единичный элемент конечного поля F, а простое число p – его характеристика. Тогда множество сумм

S={e+e+…+e=m×e (число слагаемых равно m)êm=1,2,…,p}

образует подполе, изоморфное полю вычетов Z_p (указанный изоморфизм задается соответствием: m×e « m). Тогда поле F, является конечным расширением (некоторой степени n) своего подполя S. Пусть g₁,g₂,…,g_n – базисные элементы поля F, рассматриваемого как векторное пространство над полем S. Следовательно, множество элементов поля F совпадает с множеством линейных комбинаций базисных элементов с коэффициентами из поля S. Отсюда

çFç=çSçⁿ=pⁿ.

3.16. Теорема(существование и единственность конечных полей).

Для каждого простого p и натурального n существует конечное поле из pⁿ элементов. Любое конечное поле из q= pⁿ элементов изоморфно полю разложения многочлена x^q-x над полем F_p.

Доказательство (существование). Для q= pⁿ рассмотрим многочлен x^q-xÎF_p[x] и пусть F – его поле разложения над F_p. Этот многочлен имеет q различных корней в поле F, так как он взаимно прост со своей производной

q×x^q-1 = -1 ¹ 0.

Положим

S = {aÎF½a^q-a=0}.

Нетрудно видеть, что S – поле (из a,bÎS следует, что a±bÎS и a×bÎS).

Отсюда S=F, и это конечное поле из q элементов.

Единственность следует из единственности поля разложения многочлена x^q-x.

!!!

3.16.1. Следствие. Для любого элемента q конечного поля F_q справедливо равенство

q^q=q.

3.16.2. Следствие (малая терема Ферма). Для любого aÎZ_p, где p – простое, справедливо равенство: a^p=a (mod p).

!!!

3.17. Теорема. Пусть F_q - конечное поле, q= pⁿ (p – простое число).

Тогда каждое подполе K поля F_q имеет порядок p^m, где m является положительным делителем числа n.

Доказательство. Поле F_q является векторным пространством над своим подполем K. Следовательно, для некоторого натурального d будет выполнено соотношение

çKç^d=pⁿ.

Отсюда и вытекает справедливость данного утверждения.

!!!

3.17.1. Теорема(без доказательства). Пусть F_q – конечное поле, q=pⁿ, (p – простое число), m – произвольный положительный делитель числа n.

Тогда в поле F_q существует ровно одно подполе, состоящее из p^m элементов.

!!!

3.18. Теорема. Мультипликативная группа F_q^* ненулевых элементов произвольного конечного поля F_qциклическая.

!!!

Доказательство. Без потери общности можно положить q³3.

Пусть

h = (p₁)^r(1) … (p_m)^r(m), r(i)>0,

есть разложение порядка h=q-1 группы F_q^* по степеням простых чисел p_i.

Для каждого i, 1£i£m, многочлен x^s⁽ⁱ⁾-1, s(i)=h/p_i, имеет не более h/p_i корней в поле F_q. Так как h/p_i<h, то в поле F_q имеются ненулевые элементы, не являющиеся корнями этого многочлена. Пусть a_i – такой элемент.

Положим b_i =(a_i) ^h/^t⁽ⁱ⁾, где t(i)=(p_i)^r⁽ⁱ⁾ .

Тогда (b_i)^t⁽ⁱ⁾ = 1, Þ порядок элемента b_i является делителем числа (p_i)^r⁽ⁱ⁾, Þ порядок элемента b_i равен (p_i)^d⁽ⁱ⁾, 0£d(i)£r_i .

С другой стороны, для z(i)=(p_i)^r⁽ⁱ^)-1 справедливо соотношение

(b_i)^z⁽ⁱ⁾=(a_i)^s⁽ⁱ⁾¹1.

Следовательно, порядок элемента b_i в точности равен (p_i)^r⁽ⁱ⁾.

Рассмотрим далее элемент b = b₁b₂…b_m. Предположим, что порядок элемента b является собственным делителем числа h, Þ он является делителем одного из целых чисел h/p_i , 1£i£m, пусть для определенности это будет w=h/p₁. Тогда

1 = b^w = b₁^w× b₂^w … ×b_m^w

Далее, для 2£i£m величина (p_i)^r⁽ⁱ⁾ является делителем числа w=h/p₁, Þ b_i^w=1 для 2£i£m.

Отсюда b₁^w=1, Þ порядок элемента b₁ должен делить число h/p₁ (т.е. число (p₁)^r⁽¹⁾ должно быть делителем h/p₁).

Полученное противоречие и доказывает, что порядок элемента “b” равен h=q-1, то есть b – образующий циклической группы F_q^* .

!!!

3.19. Определение. Образующий элемент циклической группы F_q^* называется примитивным элементом поля F_q .

3.19.1. Теорема. Пусть a - произвольный примитивный элемент поля F_q. Тогда все множество примитивных элементов данного поля задается следующим образом

{a^m|mÎ{1,2,…,q-1}, НОД(m,q-1)=1}.

!!!

Доказательство. Так как примитивные элементы поля F_q являются образующими циклической группы F_q^*, порядок которой равен q-1, то справедливость данной теоремы вытекает из теоремы 1.13.

3.19.2. Следствие. Конечное поле F_q содержит j(q-1) примитивных элементов, где j - функция Эйлера.

Из доказательства теоремы 3.18 вытекает следующий алгоритм проверки примитивности заданного элемента конечного поля.

!!!

3.19.3. Теорема (алгоритм проверки примитивности). Пусть a - заданный элемент поля F_q, q-1= (p₁)^r⁽¹⁾ … (p_m)^r⁽^m⁾, r(i)>0, {p_i |i=1,2,…,m} – попарно различные простые числа. Тогда a является примитивным в том и только том случае, если при всех i=1,2,…,m выполнено неравенство

a^s(i)¹1,

где s(i)=(q-1)/p_i.

!!!

3.19.4. Задача. Доказать, что число 3 является примитивным элементом поля Z₇.

Указание: показать, что 3²¹1 (mod 7), 3³¹1 (mod 7) и воспользоваться теоремой 3.19.3.

3.19.5. Задача. Найти число примитивных элементов в поле Z₂[x]/x²+x+1.

Указание: показать, что данное поле состоит из четырех элементов и воспользоваться следствием 3.19.2.

!!!

Конец лекции № 8