Практическая работа 7.

Практическая работа 7.

Тема:Решение простейших задач на определение вероятностей с применением теорем сложения и умножения вероятностей.

Цель: Научиться решать простейшие задачи с использованием классического определения вероятности. Теорем сложения и умножения вероятности.

Краткие теоретические сведения.

Определение 1. Событие, которые обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий, называется достоверным.

Определение 2. Событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий, называется невозможным.

Определение 3. Событие, которое при осуществлении определенных условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита . Например, событие - «попадание в мишень при стрельбе», событие - «появление герба при бросании монеты». Достоверное событие будем обозначать буквой , невозможное - .

Определение 4. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

Пример 1. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. Событие - «появилась стандартная деталь» и - «появилась нестандартная деталь» являются несовместными событиями.

Пример 2. Брошена игральная кость. Событие -«появление двух очков» и событие - «появление четного числа очков» совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

Различают события элементарные и составные .

Пример 3. Учащемуся на экзаменах достался билет с двумя теоретическими вопросами. Событие - «учащийся знает оба вопроса», - «учащийся знает первый вопрос, но не знает второго», - «учащийся знает второй вопрос, но не знает первого», - «учащийся знает только один вопрос», - «учащийся не знает ни одного билета». Событие является составным событием из и , потому что событие наступает только в результате наступления либо события , либо только события . В таком случае говорят, что событие разлагается на элементарные события и .

Определение 5. События называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример 4. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть событие равновозможное, так как игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет строго симметричную форму.

Определение 6. Элементарные события, при которых событие наступает, называются благоприятствующими событию .

Пример 5. Рассмотрим события: - «появление трех очков при бросании игральной кости», - «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости»

Если произошло событие , то непременно произошло и событие . В этом случае говорят « » и записывают (или .

Определение 7. Если события и таковы, что и , то они называются равными.

Определение 8. Суммой или объединением двух событий и называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий или . Символически это записывается так : или .

Определение 9. Произведением или пересечением двух событий и называется событие , состоящее в одновременном наступлении и . Символически произведение записывается так: или .

Определение 10. Вероятностью события называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию , к общему числу равновозможных событий.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. ,

так как .

2. ,

так как .

3. ,

так как .

Пример 5. В урне 3 белых и 9 черных шара. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

Событие - «вынутый шар окажется черным». Имеем , и поэтому

Пример 6. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпадает 6 очков.

При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных событий равно числу пар , где и принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6: т.е. . Событию благоприятствуют пять пар: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), т.е. . Следовательно .

Определение 11. Пусть дано множество, состоящее из элементов. Размещением из элементов по элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее различных элементов данного множества.

Число всех возможных размещений из элементов по элементов обозначают и вычисляют по формуле .

Умножив и разделив правую часть этой формулы на произведение , получим , или .

Пример 7. В группе из 30 учащихся нужно выбрать комсорга, профорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30 учащихся комсомолец, член профсоюза и спортсмен?

Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента, т.е. . Положив , получаем .

Определение 12. Перестановкой из элементов называется размещение из элементов по элементов.

Число всех возможных перестановок из элементов обозначают . Из определения перестановок следует .

Пример 8. Сколькими способами можно расставить на одной полке шесть различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е. .

Определение 13. Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит различных элементов данного множества.

Число всех возможных сочетаний из элементов по элементов обозначают и вычисляют по формуле , так как , то .

Пример 9. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами. Поэтому .

Пример 10. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: Найти вероятность того, что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочесть слово «спорт».

Обозначим события: - «на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочесть слово «спорт». Общее число возможных элементарных исходов , а благоприятствует событию лишь один, т. е. . Поэтому .

Пример 11. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Обозначим события: - «оба вынутые шара белые». Здесь число элементарных событий . Число случаев, благоприятствующих событию : Следовательно, .

Пример 12. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей 4 стандартные.

Обозначим события: - «среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартные». Число элементарных событий . Число способов, которыми можно выбрать 4 стандартные детали из 7, равно , а число способов, которыми можно к ним добавить 2 нестандартные детали, равно . Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией черных, поэтому . Следовательно, .

Пример 13. Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленные рядом.

Представим себе, что три определенные книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные 7 книг), т.е. . Внутри связки 3 книги можно переставить раз. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждой из комбинаций. Поэтому число благоприятствующих случаев равно , т.е. . Число возможных случаев равно . Таким образом, искомая вероятность

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий, т.е. . ( 1 )

Теорема 2. Если события и совместны, то вероятность их суммы выражается формулой ( 2 ), т.е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления)

Пример 14. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Обозначим события: - «выпадение 6 очков при бросании первой игральной кости»; - «выпадение 6 очков при бросании второй игральной кости». События и совместны, значит . Но , и , поэтому .

Пример 15 Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо одному и другому одновременно.

Обозначим события: - «взятое число кратно 3», - «взятое число кратно 5», Найдем . Так как и совместные события, то воспользуемся формулой ( 2 ).

Всего имеется 90 двузначных чисел 10, 11, , 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события ), 18 – кратные 5 (благоприятствуют наступлению событию ) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события ). Таким образом , т.е.

Определение 14. Условной вероятностью события при условии называют отношение вероятности событий и к вероятности события при .

Под условной вероятностью события при условии понимают вероятность события , вычисленную в предположении, что событие наступило, и обозначают ее .

Пример 16. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Обозначим события: - «первый шар черный», - «второй шар черный», Если произошло событие , то в урне осталось 6 шаров, из которых 2 черных. Поэтому искомая условная вероятность .

Таким образом, по определению . Аналогично определяется и условная

вероятность события при условии : при .

Теорема 2. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

. ( 2 )

Пример 17. В учебной мастерской техникума изготовляются детали на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке.

Обозначим события: - «деталь изготовлена на первом станке», - «деталь годная», Имеем , , По первой из формул ( 3 ) находим: .

Пример 18. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 – второго сорта и 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта, вторая деталь – второго сорта и третья деталь – третьего сорта.

Обозначим события: - «вынутая деталь окажется первого сорта», - «вынутая деталь окажется второго сорта», -«вынутая деталь окажется третьего сорта». и .

Определение 15 . Событие называется независимым от события , если условная вероятность события при условии равна вероятности события , т.е. при .

Пример 19. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие ) равна . Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие ) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании события произошло, то ; если же событие не произошло, то . Следовательно, события и - зависимы.

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. .

Пример 20. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, из второго орудия равна 0,7. Найти вероятность хотя бы однократного попадания в цель при одновременной стрельбе из обоих орудий.

Обозначим события: - «попадание в цель из первого орудия», - «попадание в цель из второго орудия». Тогда , . Так как вероятность попадания в цель при стрельбе из каждого орудия не зависит от результата стрельбы из другого орудия, то события и независимы. Тогда . Поэтому искомая вероятность с учетом совместности событий и , .

Задания для самостоятельной работы.

1. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

3. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленные рядом.

4. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из десяти человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

5. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара черные.

6. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

7. Учебные мастерские техникума получают изделия от заводов А, В и С. Вероятность поступления изделий от завода А равна 0,35, от завода В – 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия изделий поступит от завода С.

8. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу пару обуви окажется не детской.

9. В партии 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

10. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7 , для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

11. В учебных мастерских техникума работают три станка с программным управлением. Вероятность того, что в течение рабочей смены первый из них не потребует ремонта, равна 0,5, для второго станка такая вероятность равна 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность следующих событий: А – «ни один из станков в течение рабочей смены не потребует ремонта»; В – «первый станок потребует ремонта, а второй и третий нет»; С – «первый и второй станок потребуют ремонта, а третий нет»; D – «хотя бы один из станков потребует ремонта».

12. Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания первого, второго и третьего стрелков соответственно равна 0,7, 0,8, 0.9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

13. В ящике имеются 20 изделий первого сорта и 5 – высшего сорта. Из ящика наудачу берут одно за другим два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия окажутся высшего сорта.

14. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0,1, для второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение одной смены.

15. В каждой из трех партий , содержащих по 20 изделий, имеется соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия останутся бракованными.

16. В лотерее из 1000 билетов имеется 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что билет выигрышный?

17. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

18. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

19. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованные. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих пяти деталей две окажутся бракованными.

20. В ящике с деталями оказалось 300 деталей первого сорта, 200 деталей второго сорта и 50 деталей третьего сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь первого, второго или третьего сорта?

21. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.

22. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется черным.

23. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что два наудачу вынутых шара окажутся черными.

24. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

25. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых(без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрышными.

26. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей является стандартной (событие А).

27. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

28. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется черным или красным.

29. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

30. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных шаров. Из каждой урне вынули по шару. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

31. В ящике находятся 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найдите вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

32. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга, Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего.

33. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

34. В урне находятся 10 белых и 6 черных шара. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся белыми.

35. В денежно – вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета.

36. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных 1 заводом и 4 детали – 2 заводом. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется изготовленной 1 заводом.

37. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей хотя бы одна стандартная.

38. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажутся не более одной нестандартной детали.

39. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

40. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в цель.

41. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3.

42. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, ,120 и произвольно расположенных. Перфокарторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

43. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

44. в цехе работают 6 мужчин и 4 женщины, по табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

45. В ящике 10 деталей, среди которых 2 стандартные. Найти Вероятность того, что среди наудачу отобранных 6 деталей окажутся не более одной стандартной.

46. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек, Оба они хотели сидеть за праздничным столом рядом, Какова вероятность выполнения их желания, если среди друзей принято распределять места путем жребия.

47. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наудачу извлечены3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окрашенных будет не более двух.

48. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей одна стандартная.

49. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных 1 заводом и 4 детали – 2 заводом. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется изготовленной первым заводом.

50. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна цифра, а, затем, из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все возможные исходы равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра.

51. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0, 9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0, 75

Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.

52. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

53. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 2 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

54. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень ни один не попал.

55. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попал только один стрелок.

56. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий оба высшего сорта.

57. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартные), во втором – 15 (из них 6 стандартные). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная.

58. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

59. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет годных.

60. Чему вероятность того, что при бросании трех игральных костей шесть очков выпадет хотя бы на одной из костей.

Контрольные вопросы.

1. Как формулируется правило суммы, правило произведения?

2. Как определить виды выборок: размещения, перестановки, сочетания?

3. Как формулируется классическое определение вероятности. Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события, случайного события?

4. Перечислить виды случайных событий. Приведите примеры.

5. Какие события называются несовместными, независимыми? Что называют условной вероятностью события?

6. Как определить сумму событий? Какие теоремы сложения вероятностей вы знаете?

7. Как определить произведение событий? Какие теоремы умножения вероятностей вы знаете?

8. Как определяются противоположные события? Как вычисляется вероятность противоположных событий?