Числовые ряды с произвольными членами.

Лекция от 05.11.

Числовые ряды с произвольными членами.

1)Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Этот вопрос изложен в разделе 10.5 пособия “Математический анализ” (файл Мат.ан.2013.pdf) – с. 95.

2) Абсолютная сходимость ряда. Связь обычной и абсолютной сходимости.

Этот вопрос изложен в начале следующего раздела того же пособия – раздел 10.6, с. 96 (до Замечания 10.3).

3)Ряды с комплексными членами.

Пусть - последовательность комплексных чисел. Каждый член этой последовательности можно представить в алгебраической форме . Введем формально ряд . Очевидно, частичная сумма этого ряда может быть записана в виде . Поэтому естественно определить . Таким образом, сходимость ряда с комплексными членами равносильна сходимости двух рядов с вещественными членами – его вещественными и мнимыми частями.

Для ряда с комплексными членами естественно сохраняется необходимое условие сходимости – стремление к 0 при его общего члена. Действительно, комплексное число приближается к 0 тогда и только тогда, когда приближаются к 0 его вещественная и мнимая части.

Так же, как в вещественном случае, вводится понятие абсолютной сходимости ряда с комплексными членами. Он называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с вещественными положительными членами (напоминаю, что модуль комплексного числа ).

Из абсолютной сходимости ряда с комплексными членами следует его сходимость. Действительно, если сходится , то вследствие очевидных неравенств и по признаку сравнения сходятся ряды и , то есть ряды и абсолютно сходятся, а значит сходятся. Это и означает, что сходится ряд .

Пример. Рассмотрим ряд . Соответствующий ряд из модулей = = . Получилась сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем <1, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд абсолютно сходится, а значит сходится.

На самом деле, данный исходный ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с комплексным знаменателем, модуль которого <1. В этом случае остается справедливой формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии .