Таблица 1 - Исходные данные и результаты обработки

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТА

Задача: определить параметры вибросита, -угол наклона; -амплитуду; - частоту, обеспечивающих максимальных объем очищенного раствора .

Пределы изменения варьируемых параметров:

; ; ;

Переход к безразмерным параметрам:

Зависимость от : будем искать в виде:

(1)

(2)

Для уравнения (1) необходимо провести 4 опыта

Для уравнения (2) необходимо провести 8 опытов

Опыты будем проводить на нижнем или верхнем значении параметров

; ; ;

Если опыт проводится на нижнем значении параметра, то его безразмерное значение равно – 1 (-).

Если опыт проводится на верхнем значении параметра, то его безразмерное значение равно + 1 (+).

Матрица планирования экспериментов:

№ опыта,	Параметр	Параметр	Параметр
	-	-	-
	-	+	-
	-	-	+
	+	-	-
	+	+	-
	-	+	+
	+	-	+
	+	+	+

В результате проведенного эксперимента имеем систему линейных уравнений:

;

; (3)

;

Решая систему уравнений методом исключения

Далее, сложим первое и четвертое уравнения, и сложим второе и третье уравнения:

Складывая эти уравнения, найдем:

откуда

Вычитая эти два уравнения, получим:

откуда

Подставляя найденные значения и в систему (3), уже получим не восемь, а шесть уравнений:

;

; (4)

;

Аналогично определяются остальные коэффициенты:

Пусть в результате решения системы уравнений (3) получено (в безразмерных величинах):

(4)

Уравнение в размерных величинах получим, если в уравнение (4) подставим зависимости:

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Линейная регрессия(англ.Linear regression)— используемая в статистике регрессионная модель зависимости одной (объясняемой, зависимой) переменной от другой или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) с линейной функцией зависимости.

Линия регрессии. Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

Y=a+bx.

x называется независимой переменной или предиктором.

Y– зависимая переменная или переменная отклика.

Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y.

a– свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когдаx=0 (Рис.1).
b– угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Примеры множественной регрессии:

;

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Регрессионный анализ выполняется на основе выборки ( , ) наблюдений, где a и b– выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2 Линия линейной регрессии с изображенными остатками для каждой точки.

Рис. 3 Результаты обработки

Пусть известна совокупность экспериментальных значений , ,

Поиск параметров и линейной зависимости выполняется путем минимизации функции

Дифференцируя функцию по параметрам и , получаем два линейных относительно и уравнения:

;

Раскрывая эти уравнения, получим систему двух уравнений:

;

Решая которую, найдем и

Метод наименьших модулей

Пример обработки данных методом линейного регрессионного анализа.

Таблица 1 - Исходные данные и результаты обработки

	МПа	МПа

4,398 (25000)	173,4; 171,7; 170,7	171,9	1,865
4,602 (40000)	152,2; 152,5; 150,0	151,6	1,865
4,778 (60000)	129,7; 128,3; 127,2	128,4	1,570
5,000 (100000)	108,4; 108,8; 108,9	108,4	0,07
4,000 (10000)	212,5; 201,4; 210,7	208,2	35,44
4,301 (20000)	173,6; 184,7; 180,9	179,7	31,85
4,544 (35000)	147,1; 154,7; 143,9	148,6	30,77
4,778 (60000)	123,8; 132,7; 124,5	127,0	24,49
5,000 (100000)	112,2; 115,2; 118,2	115,2	9,0

S 41,401

1339,3

136,920

Проверим гипотезу об однородности условных дисперсий, оценки которых рассчитаны на основании 3¸5 столбцов таблицы 1 и помещены в 6-м столбце этой же таблицы. Учитывая постоянство объема испытаний при каждом значении числа циклов нагружения образцов (результаты для первого образца даются строками 1…4, а второго – строками 5…9 таблицы 1), проверку выполним по критерию Кохнера:

. Обращаясь к статистическим таблице, установим для m=9 и k= n-1=2 критическое значение этого критерия при . Поскольку , гипотезу об однородности дисперсий принимаем.

Дисперсия внутри системы (осредненная выборочная условная дисперсия) рассчитывается по зависимости:

Определим параметры и линии регрессии

; ; ,

после чего найдем эмпирическую линию регрессии в виде:

и после преобразований: .

Для проверки возможности использования линейной зависимости вычислим дисперсионное отношение: где – дисперсия вокруг эмпирической линии регрессии (для ее вычисления заполняются столбцы в таблице 2, начиная с 7-го):

Таблица 2. Регрессионный анализ результатов тарирования алюминиевых датчиков


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	4,398	171,9	-0,202	0,040	-34,72	168,76	3,140	9,86	1,299	1,139	3,175 2,346	171,93 171,11	165,58 166,41
	4,602	151,6	0,002	0,000	0,303	148,60	2,999	8,988	0,915	0,956	2,665 1,969	151,26 150,57	145,93 146,63
	4,778	128,4	0,178	0,031	22,85	131,21	-2,808	7,885	1,213	1,101	3,069 2,268	134,28 133,48	128,14 128,94
	5,00	108,7	0,400	0,16	4,48	109,27	-0,57	0,325	2,422	1,556	4,338 3,205	113,61 112,48	104,93 106,06
	4,00	208,2	-0,600	0,36	-124,92	208,09	0,11	0,012	4,306	2,075	5,785 4,274	213,87 212,36	202,30 203,82
	4,301	179,7	-0,299	0,089	-53,73	178,34	1,355	1,835	1,757	1,325	3,694 2,729	182,03 181,07	174,65 175,61
	4,544	148,6	-0,056	0,003	-8,32	154,33	-5,73	32,85	0,944	0,972	2,709 2,002	157,04 156,33	151,62 152,33
	4,778	127,0	0,178	0,031	22,61	131,21	-4,21	17,70	1,213	1,101	3,069 2,268	134,28 133,48	128,14 128,94
	5,00	115,2	0,4	0,16	46,08	109,27	5,93	35,16	2,422	1,556	4,338	113,61 112,47	104,93 106,06
Сумма 41,401		1339,3		0,874	-86,367			114,625

. В результате для F имеем:

Критическое значение этого отношения при ; ; определим по статистической таблице:

Таким образом, для 95% доверительной области гипотеза о наличии линейной связи принимается. Объединим дисперсии и в общую оценку:

Найдем оценки дисперсий параметров линии регрессии:

Последнее уравнение позволяет рассчитать 10-й и 11-й столбцы таблицы 2.

Проверим нулевую гипотезу о наличии зависимости , для этого вычислим значение критерия:

Для степени свободы и уровня значимости получим табличное значение критерия Стьюдента: . Поскольку , то коэффициент b значим.

Аналогичным образом проверим значимость коэффициента a:

откуда заключаем, что коэффициент a также значим.

Для заполнения 12¸14 столбцов таблицы, которые позволяют определить границы доверительных интервалов для эмпирической линии регрессии, воспользуемся зависимостью:

В исходных обозначениях эмпирическая линия регрессии имеет вид:

(1)

гдe – оценка действующего напряжения (МПа), N – число циклов нагружения. Учитывая полученную выше зависимость для оценки дисперсии , для расчета границ доверительных интервалов получим следующие уравнения (индекс "-" соответствует нижней, а "+" -верхней границе):

для 99% вероятности :

(2)

для 95% вероятности :

(3)

Значения , , определенные по приведенным формулам, поместим в 13 и 14 столбцы таблицы 2 (верхнее значение в каждой i-й строке соответствует 99% вероятности, а нижнее – 95%).

На основе данных таблицы 2 (столбцы 7, 13, 14) на рисунке 1 построена эмпирическая линия регрессии и границы 99% и 95% доверительной области.