Z1 = R1 + jX1 = 10 + j 2p × 50 × 19,1 × 10-3 = 10 + j6 = 11,6 ℮ j 31º Ом.

Задача - пример . Рассчитать токи в ветвях электрической цепи синусоидального тока показанной на рисунке, если:

U = 120 B, R₁ = 10 Ом ,

R₂ = 24 Ом , R₃ = 15 Ом,

L₁= 19,1 мГн, L₃= 63,5 мГн,

C₂= 455 мкФ, f = 50 Гц.

Проверить баланс мощностей. Построить топографическую диаграмму.

Решение. Комплексные сопротивления ветвей схемы:

Z1 = R1 + jX1 = 10 + j 2p × 50 × 19,1 × 10-3 = 10 + j6 = 11,6 ℮ j 31º Ом.

Z2 = R2 – jX2 = 24 – j 10 6 / 2p × 50 × 455 = 24 – j7 = 25 ℮ – j 16º 15' Ом.

Z3 = R3 + jX3 = 15 + j 2p × 50 × 63,5 × 10-3 = 15 + j20 = 25 ℮ j 53º 05' Ом.

Комплексное эквивалентное сопротивление цепи относительно входных зажимов Z_вх = Z ₁ + Z ₂ × Z ₃ / ( Z₂ + Z₃) =

= 10 + j6 + (24 – j 7) (15 + j 20) / (39 + j 13) =

= 24,4 + j 10,8 = 26,7 ℮ ^j²³^º⁵⁵^' Ом.

Ток в неразветвленной части цепи (так как начальная фаза входного напряжения не задана, то принимаем ее равной нулю):

I ₁ = U / Z _вх= 120 / 26,7℮ ^j²³^º⁵⁵^' = 4,5℮ ^{– j}²³^º⁵⁵^' A.

Токи I₂и I₃в параллельных ветвях можно выразить через ток в неразветвленной части цепи по «формуле параллельного разброса»:

I₂ = I₁×Z₃/ ( Z ₂ + Z₃ ) = 4,5℮^{– j 23}^º⁵⁵^'× ( 15 + j 20 )/( 39 + j 13 ) = 2,74 ℮ ^j¹⁰^º⁴⁵^'A;

I₃ = I ₁× Z ₂ / ( Z ₂ + Z₃ ) = 4,5 ℮^{– j 23}^º⁵⁵^' ×( 24 -–j 7 )/( 39 + j 13 ) = 2,74℮^{– j}⁵⁸^º³⁵^'A.

Мощность источника напряжения:

120 × 4,5℮ ^j^23º55' = 540℮ ^j^23º55'= (494 + j219) ВА.

Активная мощность потребителей:

10 × 4,5²+ 24 × 2,74²+ 15 × 2,74²= 494 Вт.

Реактивная мощность потребителей:

6 × 4,5²– 7 × 2,74²+ 20 × 2,74²= 219 вар.

Таким образом, баланс мощностей выполняется.

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для решенной задачи.

φ _o = 0; φ _e = φ _o – j X ₂ I ₂= – j7 ∙ 2,74℮ ^j¹⁰^º⁴⁵^' = 19,8 ℮^-^j⁷⁹ ^°¹⁵^' = (3,7 – j 19,45) В;

φ _c = φ _e + R ₂ I ₂= (3,7 – j 19,45) + 24 ∙ 2,74 ℮ ^j¹⁰^º⁴⁵^'=(68,3 – j 7,18) В;

φ _d = φ _o + j X _L₃ I₃= j 20 ∙ 2,74 ℮ ^–^j⁵⁸^º³⁵^' = 54,8 ℮^j³¹^º²⁵^' = (46,7 + j 28,63) В;

φ _c = φ _d + R ₃ I ₃=(46,7 + j 28,63) + 15 ∙ 2,74℮^–^j⁵⁸^º³⁵^' =(68,3 – j 7,18) В;

φ _b = φ _c + j X₁ I₁= (68,3 – j 7,18) + j 6 ∙ 4,5℮ ^–^j²³^º⁵⁵^' = (79,3 + j 17,5) В;

φ_a = φ_b + R₁ I₁ = (79,3 + j 17,5) + 10 ∙ 4,5℮ ^{– j}²³^º⁵⁵^' =(120,3 – j 0,5) ≈ 120 В.