Группа 1БУ-67. Тема: Показательные уравнения.. Показательные уравнения

Группа 1БУ-67

Тема: Показательные уравнения.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Записать примеры выполнения заданий.

3. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сфотографировать и отправлять на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

5. Выполненные задания сдать до: 22.10

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

С. 77-78

Вспомните свойства степеней с действительным показателем.

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит переменную в показателе степени, называется показательным уравнением.

Простейшее показательное уравнение имеет вид a^x = b,где a > 0, a ≠ 1.

Пример: . ; . Ответ: .

Пример: , т.к. -25<0, то уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Методы решения показательных уравнений:

1. Метод приведения к одному основанию;

2. Метод вынесения за скобки;

3. Метод приведения к квадратному уравнению.

Рассмотрим 1 метод. Метод приведения к одному основанию.

При a > 0, a ≠ 1, уравнения a^f⁽^x⁾ = a^g⁽^x⁾ и f(x) = g(x) равносильны.

Пример. Простейшие уравнения: (устно)

а)2^х-5= 16 Приведение обеих частей к общему основанию: 2^х-5= 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению: х-5 = 4, х = 9.Ответ: 9.

б)3^х= -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

Пример.

1) . ; ; . Ответ: .

2) . ; ; x=2. Ответ: x=2.

3) . ; ; x=0. Ответ: x=0.

Рассмотрим 2 метод. Метод вынесения за скобки.

Пример. Решить уравнения a) 2^x⁺¹ - 2^x + 2^x^-2 - 2^x^-3 = 9,

Решение. a) Перепишем уравнение в виде

или откуда следовательно 2^x = 8 или x = 3.

Рассмотрим 3 метод. Метод приведения к квадратному уравнению.

Пример. Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16^х – 17 4^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид: t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁= 1, то 4^х = 1, 4^х= 4⁰, х₁= 0. Если t₁= 16, то 4^х = 16, 4^х= 4², х₂= 2 Ответ: х₁= 0, х₂= 2.

Пример.Решить уравнение 64·9^x -84·12^x +27·16^x = 0,

Решение. Записав уравнение в виде

64·3^2x -84·3^x ·4^x +27·4^2x = 0

и разделив на 4^2x, получим

или

Обозначив получим квадратное уравнение

64t²-84t+27 = 0.

Дискриминант данного уравнения равен D = 84² -4·64·27 = 4²· 3²·7² -4·4·16·9·3 = 4²·3²(49-48) = 12², а значит его корни имеют вид

Таким образом

откуда x₁ = 2 и x₂ = 1.

Домашнее задание.

Решить уравнения

1) 0,3^5-2х = 0,09;

2) 225 = 1;

3) 3^х-2 – 3^х-3 = 6;