Ход урока. I. Изучение нового материала.

Урок

Тема: Степенные функции.

Цель: изучить свойства степенной функции с действительным показателем.

Знать свойства степенной функции с действительным показателем.

Уметь строить графики степенных функций с действительным показателем.

Ход урока

1. Графики каких функций изображены на рисунках:

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

I. Изучение нового материала.

2. Теперь познакомимся с функциями у = х^г, где г положительное или отрицательное дробное число.

Рассмотрим в качестве примера функцию y=x^2,5. Область ее определения — луч Построим на этом луче графики функций у = х² (ветвь параболы) и у=х³ (ветвь кубической параболы) — эти графики изображены на рис.

Обратите внимание: на интервале (0, 1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче выше параболы.

Нетрудно убедиться в том, что график функции у =х^2,5, проходит через точки (0; 0) и (1; 1), как и графики функций у = х², у = х³. При остальных значениях аргумента х график функции у=х^2,5 находится между графиками функций у=х²и у=х³ (рис.). Почему?

Смотрите:

1) Если О<х< 1, то:

2) Если х> 1, то:

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель г, тем «круче» устремлена эта кривая вверх.

Задание: Прочитайте по графику свойства функции (письменно).

3. Рассмотрим степенную функцию для случая, когда правильная дробь

График функции у = х^г изображен на рисунке

Задание: Прочитайте по графику свойства функции (письменно).

4. Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида Область ее определения — открытый луч (0, + оо). При х > 0 график функции у =х^-п пoхож на ветвь гиперболы. Точно так же обстоит дело для любой степенной функции вида , график которой изображен на рисунке. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.

Задание: Прочитайте по графику свойства функции (письменно).

5. Пример. Построить график функции

Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые x = 1 и у = -2

2) «Привяжем» функцию к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функций но строить их будем не в старой, а в новой системе координат. Затем по этим точкам построим кривую того вида, какой представлен на рисунке.

6. Построить график функции и прочитать свойства функции.

II. Домашнее задание.

§ 6, № 119, 122