Задача 1.. В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Стереометрия изучает фигуры в пространстве (не все точки фигуры лежат в одной плоскости).

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются: точка, прямая и плоскость. Плоскость состоит из точек, неограниченно продолжена во все стороны, не имеет толщины, идеально ровная и гладкая. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняются свойства планиметрии. Так, например, признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях.

Рассмотрим подробное решение нескольких стереометрических задач.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А₁, С₁, А₂, С₂ соответственно.
Найти ВС₁, если А₁В : А₁А₁ = 1 : 3, ВС₂ = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А₁В : А₁А₂ = 1 : 3, то А₁В = х, А₁А₂ = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А₁С₁, а плоскость β – по прямой А₂С₂. Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А₁С₁ и А₂С₂.

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА₁/ВА₂ = ВС₁/ВС₂.

Кроме того, ВА₂ = ВА₁ + А₁А₂, а значит, учитывая пункт 1

ВА₂ = ВА₁ + А₁А₂ = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС₁ = 3.

Ответ: 3.

Задача 2.

В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC (рис. 2), тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН² = ЕА² + АН²;

ЕА² = 16 – 12 = 4;

ЕА = 2.

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S_EAH = (EA · AH)/2 или S_EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК² = 3.

Ответ: 3.

12 Следующая ⇒