Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

9 класс (условия)

1. Борис задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 8, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 20. Какое число задумал Борис? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

2. Квадратичная функция f (x) = ax²+bx + c такова, что: f (1) < 0, f (2) > 3, f (3) < 6. Найдите знаки чисел а, b, с.

3. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых (вместо 0 и 1 цифру 2, вместо 1 и 2 – 0, вместо 0 и 2 – 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.

4. Рассмотрим вписанный четырёхугольник АВСД. Пусть М – точка пересечения его диагоналей, а L ‒ середина дуги AD (не содержащей других вершин четырёхугольника). Докажите, что расстояния от L до центров окружностей, вписанных в треугольники ABM и CDM, равны.

5. Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.