Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

8 класс (условия)

1. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

2. Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в 2014 году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

3. Угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС равен 108⁰. Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону АС в точке Е. Докажите, что DЕ = ВD.

4. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки; потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки; потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

5. Автобусные билеты имеют номера от 000 001 до 999 999. Принято считать счастливыми билеты, у которых сумма трёх первых цифр номера равна сумме трёх последних. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.