Тема. Разложение вектора по направлениям

Занятие по математике №30 Группа 2ЖЗ Дата проведения: 30.10.20г.

Тема. Разложение вектора по направлениям

Видеоурок по данной теме просмотреть по ссылке: https://www.youtube.com/watch?v=28tsaYte3W0

Материал занятия для самостоятельного изучения.

Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Говорят, что вектор разложен по векторам , , если он представлен в виде суммы произведений вектора на число x, вектора на число y и вектора на число z.

При этом числа x, y и z называют коэффициентами разложения.

Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Докажем эту теорему для некомпланарных векторов , , .

Отметим любую удобную точку пространства и отложим от неё векторы , , и равные векторам , , соответственно.

Далее через точку P проведём прямую параллельную прямой OC. Точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC обозначим за P₁.

Далее через точку P₁ проведём прямую параллельную прямой OB. А точку пересечения этой прямой с прямой ОА обозначим за P₂.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов, запишем, что .

Из построений следует, . А это значит, что .

Таким образом мы разложили вектор по трём некомпланарным векторам , , .

Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором коэффициенты разложения равны x₁, y₁, z₁.

Вычтем второе разложение из первого.

Понятно, что в разложении нулевого вектора по трём некомпланарным ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю.

Отсюда соответственно равны коэффициенты:

А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго разложения вектора отличны от коэффициентов первого разложения.

Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Что и требовалось доказать.

Выполним несколько заданий.

Задача 1. параллелепипед.

Разложить:

а) вектор по векторам , и ;

б) вектор по векторам , и .

Решение.

Изобразим все векторы, перечисленные в первом пункте. Пользуясь правилом параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить, что . Таким образом мы разложили вектор по данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен единице.

Обратимся к следующему пункту. Вектор нужно разложить по векторам , и .

Для начала запишем, что по правилу многоугольника сложения нескольких векторов, вектор .

Так мы разложили вектор по данным векторам, где коэффициенты разложения y и x равны 1, а z равно -1.

Задача 2. параллелепипед. точка пересечения диагоналей. Разложить векторы и по векторам , и .

Решение.

Сразу можно отметить, что .

Поэтому в разложении этого вектора по данным векторам коэффициенты разложения при векторах и равны 0, а при векторе — -1.

Далее разложим вектор по данным векторам.

Задача 3. тетраэдр. середина ребра . Разложить векторы по векторам , и . Если , и .

Решение.

Для начала стоит отметить, что на рёбрах DC и DB тетраэдра можно построить параллелограмм. И отрезок DK будет являться половиной его диагонали DD₁. Действительно, точка К является серединой второй диагонали BC, а значит, она является точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма.

Рассмотрим каждый вектор этой суммы в отдельности.

Подставим полученные суммы в выражение для вектора .

Домашнее задание:повторить §1, п.46-48, «Геометрия 10-11 класс» Л.С. Атанасян, составить краткий конспект занятия, рассмотреть и записать решение задач 1-3.

Выполненные задания отправлять на электронную почту: tatiefremenko@yandex.ua

или страницу вКОНТАКТЕ - https://vk.com/id592773352

Индивидуальные консультации, оценивание устных ответов по тел.: 0660627421, 0721813966 Ефременко Т.А.