Комбинаторные задачи

Комбинаторные задачи

Задача 1.В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами? (А =18*17*16=4896)

Задача 2 .Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по четырём различным ящикам, так, чтобы в каждом ящике оказалось по 7 предметов?

3. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

4. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре? Р₄=4!=1×2×3×4=24

5. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

6. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

Решение: а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Сергей находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих пред Сергеем: Р₆=6!=1×2×3×4×5×6=720. б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Сергеем и Игорем: Р₅=5!=1×2×3×4×5=120. в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Сергей и Игорь стоят рядом в порядке СИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, представляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р₆=6!=1×2×3×4×5×6=720. пусть теперь Сергей и Игорь стоят рядом в порядке ИС. Тогда получим ещё Р₆=6!=720 других комбинаций. Общее число комбинаций, в которых Сергей и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720+720=1440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1440 комбинаций.

7. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?Р₉=9!=362880.

8.Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причём порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен? Решение: … = 2

9. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

10. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

11. Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Решение: Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своём и чужом поле), то выбор пары осуществляется с учётом порядка, т.е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи =30, отсюда n(n-1) = 6×5, n = 6.Ответ: 6 команд.

12. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?

13. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? (3)

14. Володя идёт на день рождения к одноклассникам, двойняшкам Диме и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча разных цветов: белый, чёрный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Володя может сделать подарки братьям?(6 способов)

15. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?