Интегрированный урок Этот симметричный мир

Интегрированный урок "Этот симметричный мир"

Иванова Ольга Владимировна, доцент кафедры естественно-научных дисциплин

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

По мнению Ю. М. Колягина[1], применительно к системе обучения понятие "интеграция" может принимать два значения: "во-первых, это создание у школьника целостного представления об окружающем мире (здесь интеграция рассматривается как цель обучения) ; во-вторых, это нахождение общей платформы сближения предметных знаний (здесь интеграция - средство обучения)". Интеграция как цель обучения должна дать ученику те знания, которые отражают связанность отдельных частей мира как системы, научить ребенка с первых шагов обучения представлять мир как единое целое, в котором все элементы взаимосвязаны. Интеграция же как средство обучения направлена на развитие эрудиции обучающегося, на обновление существующей узкой специализации в обучении. В то же время интеграция не должна заменить обучение классическим учебным предметам, она должна лишь соединить получаемые знания в единую систему. По мнению автора, сложность проблемы заключается в том, как динамически развивать интеграцию от начала к концу обучения. Если в начале наиболее целесообразно усвоить "немного обо всем", затем необходим синтез разрозненных знаний и умений, то к концу обучения необходимо знать "все о немногом", то есть это узкая специализация, хотя и на новом интегративном уровне. Одна из форм реализации интеграции среднего математического образования в школьной практике является интегрированный урок. Интегрированный урок - это такой урок, который решает конкретные и перспективные задачи интегрирования, и уровень интегрирования урока определяется тем кругом задач, которые возможно выполнить только благодаря интегрированию. Интегрированные уроки по математике особенно актуальны в химико-биологических классах, поскольку обладают ярко выраженной прикладной направленностью и вызывает несомненный познавательный интерес у учащихся. На интегрированных уроках здание математики создается на глазах учащихся и с их посильным участием, отчетливо выявляются связи математических понятий с практической деятельностью человека. Перечислим интегрированные уроки по алгебре: 1. “Число и реальность” 2. “Бинарные отношения, элементы которого группы крови” 3. “Вся жизнь по функциям” 4. “Тригонометрия в природе и вокруг нас” 5. “Математический анализ в жизни общества”, и уроки по геометрии: 1. “Многогранники вокруг нас” 2. “Этот симметричный мир” 3. “Круглые тела и поверхности на практике” 4. “Мир в системах координат”, проводимые в 10-11 классах химико-биологического профиля.

Мы предлагаем интегрированный урок, который создавался вместе с учениками 10 класса (профильный класс с углубленным изучением химии и биологии.) За несколько дней перед изучением темы “Симметрия в пространстве” учитель сразу предлагает список литературы для будущей учебно-практической конференции, естественно оговариваются цели конференции, а в течение двух недель ученики сами определяются, к какой тематике будут готовиться. Данные учебно-практические конференции соединяют воедино различные предметы, интересы и способности, позволяют активизировать внимание учащихся.

Цель – систематизировать знания о видах симметрии; показать применение симметрии в других науках, в окружающей действительности; развивать критическое мышление, также развивать самостоятельность, творчество.

Форма проведения урока – групповая (ученики заранее делятся на 3 группы: “историки”, “математики” и “эксперты естественных наук”; все три группы пишут рефераты по данным разделам – то есть “историки” связывают раздел “Симметрия” с историей математики, “математики” исследуют с научной математической точки зрения, а “эксперты естественных наук” рассматривают симметрию в живых организмах, в окружающей природе, в неживой природе; затем, изучая данные рефераты, учитель предлагает, что лучше всего стоит продемонстрировать).

Оборудование урока –слайды (основные рисунки по теме в электронном виде); видеопроектор.

Ход урока:

“Эксперты естественных наук”

Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Кристи Тарлинктон, супермодель (рис.1), признанная одной из самых красивых женщин в мире, считает, что по большей части обязана своим успехом в качестве модели идеальной симметрии своих губ. Пропорция и симметрия объекта всегда необходима нашему зрительному восприятию для того, чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии. Смотреть на симметричные изображения приятней, нежели на асимметричные.

Группа “историков”

Красота и гармония тесно связаны с симметрией, это подметили еще древние архитекторы и художники. Слово симметрия происходит от греческого “sum metria”, что означает "такая же мера". Греческий скульптор Поликлеитос очевидно был первым, кто использовал этот термин еще в XV веке до н.э.. Во времена Пифагора ( 5 в. до нашей эры) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. В то же время они смогли подвергнуть его серьезному анализу и получить результаты переходящего значения. Отметим некоторые из них:

1. Важны стороны симметрии: равенство, однообразие и пропорциональность: однообразно (в смысле подчинения какой-либо математической закономерности) располагая равные части, например из 4 равнобедренных треугольника, можно построить симметричную фигуру, скажем квадрат. Если же нарушить принятый закон однообразия в расположении равнобедренных треугольников, то мы получим уже менее симметричную, в пределе асимметричную фигуру.

2. Пифагорейцы выделили 10 пар противоположностей, среди них правое (D) и левое (L). Из этого следует, что во-первых, понятия правого и левого в теории симметрии имеют фундаментальное значение: а) пользуясь D и L асимметричными образцовыми фигурами, например запятыми, неправильными треугольниками, тетраэдрами и “размножая” их соответствующими элементами симметрии, можно построить теорию симметрии любого измерения. Сама же теория симметрии с этой точки зрения предстает как учение о симметрии специфических противоположностей – D и L ; б) изучение природы с точки зрения D и L в дальнейшем привело к одной из важнейших проблем естествознания – к проблеме правизны и левизны.

“Эксперты естественных наук”

Выделим важный момент в учении пифагорейцев. Диалектичность и современность: “мир – множество и состоит из противоположностей”, “то, что приводит противоположности к единству и создает все в космосе”, есть симметрия; симметрия и заключается в числовых отношениях (математических). Сейчас создано несколько теорий симметрии противоположностей. Одна из них, Хенна-Шубникова, так и называется – “теория антисимметрии”, получившая широкое применение в кристаллографии, физике, биологии. Законы симметрии, а в их число включаются и законы сохранения, “контролируют” ход, направление, результаты физических и химических реакций. Есть сведения, что особые законы сохранения “контролируют” также биологические и логико-психологические процессы. Посредством принципов симметрии строятся или построены естественные классификации элементарных частиц (Гелл-Манн, Нееман и другие), атомов (таблица Менделеева), молекул, кристаллов (Гессель, Федоров и другие), организмов (Беклемшиев и другие).

Группа “математиков”

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в Х1Х веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855 – 1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. (Рассказывают о симметрии в стереометрии относительно точки, прямой, плоскости [3,с.82])

Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку (рис.2). Их объединяет то, что они симметричны. Если мысленно прочертить вертикальную прямую через центр рисунка и поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит её до целой (такой же, как исходная фигура). Поэтому такая симметрия называется зеркальной (или осевой, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то её части совпадут.

Сравним две фигуры (кляксу и ажурную бумажную снежинку). Клякса получилась так, на лист бумаги капнули каплю чернил, сложили лист вдвое и затем разогнули. Линия сгиба – ось симметрии кляксы. Клякса имеет одну вертикальную ось симметрии. Аналогичным образом получилась снежинка, только лист бумаги согнули несколько раз, вырезали из этого “слоёного” листа кусок, а затем разогнули лист. У “снежинки” несколько линий сгиба, и все они являются осями симметрии.

Эксперты естественных наук :

Обратите внимание на структуру снежинок. Наверное, она была бы совсем другой, если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

“Математики”

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть вовсе.

Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве. архитектуре. технике. быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях (рис.3).

Эксперты естественных наук.

Симметрия у живых организмов служит не только для красоты; она прежде всего связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью. Организмам на протяжении эволюции приходилось приспосабливаться к проявлению действия законов природы (поворотная симметрия – медузы, морские звезды).

Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений – удивительно симметричны листья дуба, вербы, клена, крапивы. Многие цветы, в частности колокольчик, нарцисс, анютины глазки, обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего; иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Наиболее ходовые цветы, те у которых между лепесточками 72°. Подобные оси – пример элементов симметрии, то есть геометрических образов, используемых для описания формы симметричных тел. Заметим, что необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветка колокольчика он равен 72°, для нарцисса – 60°. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с сами собой, называется элементарным углом поворота оси.

“Математики”

Поворотную ось можно также охарактеризовать с помощью другой величины, называемой порядком оси. Эта величина показывает, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360°. Упоминавшиеся выше цветы колокольчика и нарцисса обладают осями пятого и шестого порядка соответственно. Обозначим элементарный угол поворота оси буквой ß, а её порядок буквой n. Тогда можно написать простое соотношение, которое связывает эти две величины: n=360°/ß .

Эксперты естественных наук.

Обратим внимание на цветок анютиных глазок. Он совместится сам с собой только при повороте на 360°. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. Такие оси присутствуют в любом теле, и более того, всякое направление всегда является осью первого порядка. А вот яблоко или груша достаточно правильной формы могут оказаться совмещенными сами с собой при повороте на любой, в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси, идущей вдоль черенка. (Естественно, речь идет при условии некоторой идеализации их формы). Обратим внимание на расположение ветвей у ели. Ствол её чаще всего прям, и ветви равномерно расположены относительно ствола, так что отвесная прямая, проходящая через её центр тяжести, пересекает основание ствола ели. Так, дерево, развиваясь в условиях действия силы тяжести, достигает устойчивого положения. К вершине дерева ветви его становятся меньше в размерах – оно приобретает форму конуса. Это нам тоже понятно: ведь на нижние ветви, как и на верхние должен попадать свет. Кроме того, центр тяжести должен быть как можно ниже – от этого зависит устойчивость дерева. Если внимательно приглядеться на ветвь, например подсолнуха (рис.4), то окажется, что и здесь действует ясно выраженный закон симметрии. Рассматриваемая ветвь обладает винтовой осью симметрии. Уподсолнухакаждый листок появляется после 72° оборота. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага, т.е. А + В = С, В + С = Д и т.д.

Оказывается, винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи.

Также числа Фибоначчи играют немаловажную роль и в строении человека.

“Математики”

Попробуем доказать, как математика связана с пропорциями человека, а также и со строением всего живого.

Пифагор показал, что отрезок единичной окружности АВ можно разделить на две части так, что отношение большей части (АС=х) к меньшей (СВ=1-х) будет равняться отношению всего отрезка (АВ=1) к большей части (АС): АС / СВ=(АС-СВ) / СВ, то есть х / (1-х)=1/х. Отсюда х² =1-х. Положительным корнем этого уравнения является (-1 + 5^½)/2 , так что отношения в приведенной пропорции равны: 1,618033989 (Рис.5)

Такое деление (точкой С) Пифагор назвал золотым делением, или золотой пропорцией, а Леонардо да Винчи – общепринятым сейчас термином “золотое сечение”. Впоследствии учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, эстетике, ботанике, технике. Здесь мы остановимся на связи золотого сечения лишь с симметрией.

В 1202 году вышло в свет сочинение “ Liber abacci” (“Книга об абаке”) знаменитого итальянского математика Леонардо из Пизы, известного больше как Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное от filius Bonacci - сын добродушного). В нем Фибоначчи, решая задачу о кроликах, получает следующую замечательную последовательность чисел: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377… Фибоначчи отметил, что открытая им последовательность чисел при j>2 задается формулой f _j=f _j-1+f _j-2, где f_j - j-ый член ряда.

И.Кеплер заметил, что f_j / f _j+1 > 1/Ф при возрастании j . Через 100 лет Р.Симпсон строго доказал, что Lim f _j+1/f_j=Ф. Лишь в 1843 году , то есть через 641 год после открытия указанной последовательности чисел, Ж.Бине нашел формулу для j-го её члена (Рис.6)

“Эксперты естественных наук”

Далее было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания видов винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей ½, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89,…,

во-первых, составлена из чисел ряда Фибоначчи;
во-вторых, построена так, что числитель и знаменатель любой дроби ряда, начиная с третьей, равны сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей;
в-третьих, стремится к пределу 0,3817…=1/Ф²=Ф^-2;
в четвертых, фактически обозначает последовательность видов винтовых осей симметрии, применяемых в теории структурной симметрии для описания симметрии бесконечных фигур.

Кроме того, выявилось, что применяемая в ботанике же для описания уже спирального расположения семянок в головках подсолнечника или чешуй в шишках сосновых последовательность дробей 1/1,1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55,55/89,89/144,…, во-первых, так же составлена из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так же, как и предыдущий ряд, только здесь знаменатель одной дроби равен числителю другой дроби, следующей за нею непосредственно; в-третьих, стремится к пределу 0,61803…= f_j /f _j+1=1/ Ф=Ф^-1, причем 0,61803 = 1 -0,38197 и 0,61803 / 0,38197 = 1 / 0,61803 = Ф^-1 , то есть золотому сечению единичного отрезка; в-четвертых, фактически обозначает также последовательность видов винтовых осей симметрии.

Группа “математиков”

Выявилось, что в геометрической прогрессии вида 1, Ф, Ф², Ф³, …, Фⁿлюбой член ряда начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих членов. Другими словами, эта прогрессия одновременно, геометрическая и арифметическая.

Эксперты естественных наук

Человеческое тело, так же как и тело других позвоночных, в основе своей построено зеркально симметрично.

На рисунке А. Дюрера “Изучение пропорций” (Рис.7) хорошо видно: размеры тела человека (за единицу измерения выбрана голова) относятся как 1 : 2 : 3 : 5 : 8 и составляют ряд Фибоначчи.

Размеры головы ГЧ обозначим Г. Тогда плечи ШШ = 2Г, размах рук ЛЛ = 8Г, грудь ШО = 2Г, бедро БК = 2Г, голень КН = 2Г, пояс - колени ОК = ЗГ, пояс - щиколотки ОН =5Г, макушка - ступня ГС = 8Г, размах руки ШЛ = ЗГ.

С древних времен установлено, что если стопу человека принять за единицу измерения – фут (греческий фут = 30,89 см), то рост человека составит 6 футов, а голова вместе с шеей – 1 фут.

Деление головы на характерные части дает целый ряд отношений, очень близких золотому сечению. То же самое можно сказать о руке и ладони.

Общие принципы строения организма человека заложены ещё миллиарды лет назад, когда сформировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных. Одним из признаков, переданных нам, является двухсторонняя симметрия человеческого тела. Практический врач Александр Трифонов, изучая механизмы возникновения различных заболеваний, пришел к выводу, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции человеческого тела. Симметричные животные живут дольше, чем не симметричные, что также говорит в пользу того, что симметрия это показатель здоровья. Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству. Асимметрия лица это показатель старения. "Пропорции человека" Леонардо (Рис.8) - это известная работа, иллюстрирующая человеческую симметрию.

Также известны ещё кое-какие пропорции: “Если ты раздвинешь ноги настолько, что убавишься в росте на 1/14, и если ты тогда разведешь руки и поднимешь их так, что коснешься средними пальцами макушки головы, то должен ты знать, что центром круга, описанного концами вытянутых членов, будет пупок и что пространство между ногами образует равносторонний треугольник. А пролет распростертых рук человека равен его росту”

Рассмотрим ещё один тип симметрии, который встречается в животном мире. Это винтовая или спиральная симметрия. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т.е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты . Примерами природных винтов являются: бивень нарвала – левый винт; раковина улитки – правый винт; рога памирского барана (один рог закручен по левой, а другой по правой спирали). Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина у моллюсков сужается или расширяется на конце. Спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты – ДНК, являющейся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структуру двойной правой спирали, открытой американскими учёными Уотсоном и Криком. Двойная спираль молекулы ДНК есть главный природный винт. Подлинным царством природных винтов является мир “живых молекул” - молекул, играющих принципиально важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся прежде всего молекулы белков. В человеческом теле насчитывают до 10 типов белков. Все части тела, включая кости, кровь, мышцы, сухожилия, волосы, содержат белки. Молекула белка представляет собой цепочку, составленную из отдельных блоков, и закрученную по правой спирали. Её называют альфа-спиралью. За открытие альфа-спирали американский учёный Лайнус Полинг получил Нобелевскую премию, самую высшую награду в научном мире. Молекулы волокон сухожилий представляют собой тройные альфа-спирали. Скрученные многократно друг с другом альфа-спирали образуют молекулярные винты, которые обнаруживаются в волосах, рогах, копытах.

Симметрия также очень часто является показателем физического здоровья, в то время как ее отсутствие может выделить потенциальное расстройство какой-либо функции или болезнь.

Задание группам: Измерьте свое тело (основные деления смотрите на рисунок) с помощью сантиметровой ленты, а затем результаты занести в таблицу (кому сколько сантиметров не хватает до “золотой пропорции”).

Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы. Имеются такие фигуры, которые преобразуются сами в себя при повороте вокруг некоторой точки на угол 120°, или в 90°, 72° и так далее. Вообще, может оказаться, что фигура преобразуется сама в себя при повороте вокруг некоторой точки на угол, равный 360°/n. Тогда говорят, что фигура имеет симметрию вращения порядка n, а точка О называется в этом случае центром вращения порядка n. Кристаллографы давно обратили внимание на то, что в кристаллографии запрещена ось пятого порядка. Она полностью исключена из неживой природы. Но эта ось повсюду присутствует в живом мире. Иллюстрацией могут быть пять лучей у морской звезды, пятиугольные пластинки у морского ежа и пр. То есть ось пятого порядка - симметрия жизни.

Не исключено, что атомы в случае осей симметрии неживой природы имеют наиболее компактную упаковку и минимум потенциальной энергии. В случае пятилучевой симметрии такой законченности нет, и появляется определенная степень свободы, в направлении которой возможно движение вещества и осуществление процессов обмена - одного из важнейших признаков жизни. Подавляющее число живых организмов обладает одной из трех ее видов: шаровидной, лучевой, а более высокоразвитые существа – билатеральной симметрией.

Итог урока подводит учитель: Мы убедились, что большинство растений и животных симметричны. Симметрия живых организмов и растений целиком обусловлена воздействием внешней среды, которая с момента возникновения жизни на Земле принимала, да и сейчас принимает самое активное участие в формировании внешнего облика обитателей нашей планеты.

К примеру, Земля имеет форму шара (если отбросить мелкие детали). Силы земного тяготения направлены к центру Земли, образуя шаровую симметрию поля тяготения. Для шарообразных объектов характерно, что через каждую их точку можно провести бесчисленные плоскости симметрии. Чтобы симметрия созданий природы не вступала в конфликт с симметрией сил земного тяготения, ось тела любых организмов, которые обречены всю жизнь стоять неподвижно, расти или двигаться вертикально вверх, должна обязательно совпадать с линией, образуемой пересечением плоскостей симметрии поля тяготения, проходящих через точку, к которой они прикреплены (или из которой движутся вертикально вверх), и поэтому неизбежно приобретают лучевую симметрию. Напротив, плоскость симметрии всего растущего или передвигающегося параллельно поверхности Земли должна обязательно совпадать с одной из бесчисленных плоскостей симметрии поля земного тяготения, а сам организм, следовательно, иметь билатеральную (двустороннюю, зеркальную) симметрию. Только мелкие, главным образом одноклеточные организмы, живущие в воде во взвешенном состоянии, находятся как бы в невесомости, ибо в какой-то мере избавлены из воздействия ига земного притяжения, а потому и могут приобретать шаровую, спиральную или другие типы симметрии. Можно сказать, что упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными.

Мы ещё раз убеждаемся в том, чтобы изучать внешний мир, просто необходимо изучать математические факты, законы.