ЗАДАНИЕ для самостоятельной работы

Дробно-рациональная функция — это функция вида , где f(x) и g(x) — некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты — вертикальную и горизонтальную.
Определение.Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная

Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная

Пример1 .Построим график функции , т.е. представим ее в виде : выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак, . Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

x	-7	-2	-1				2,5
y	1,5		0,75	0,33	-0,5	-3	-8

x	3,5
y			4,5	3,33	3,25		2,52

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.

Любую дробь можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 2. Построить график функции:

Пользуясь графиком, определить, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение

Первым делом найдем область определения функции: знаменатель функции не может быть равен нулю, решим уравнение:

Тогда область определения – все действительные числа, кроме и : , .

Теперь упростим выражение:

Можем сократить дробь на . Значение не входит в область определения, значит, мы сокращаем на ненулевое число:

График этой функции мы можем получить из графика обратной пропорциональности (см. рис. 7).

Рис. 7.

Умножим функцию на :

График отобразится симметрично относительно оси (см. рис. 8).

Рис. 8.

К функции прибавим :

График сдвинется вверх на (см. рис. 9).

Рис. 9.

Это и есть искомый график? Нет! Это график функции . А исходная функция имеет другую область определения: уже учтено: на графике нет точки с абсциссой 0. Нужно еще учесть . Для этого «выколем» точку с . Вот теперь мы получили график функции (см. рис. 10).

Рис. 10.

Ответим на второй вопрос. График функции – это прямая, параллельная оси . Нужно расположить ее так, чтобы она не пересекала график.

По рисунку видно, что это можно сделать двумя способами:

1. разместить прямую так, чтобы она совпадала с горизонтальной асимптотой (см. рис. 11);

2. разместить прямую, чтобы она проходила через выколотую точку (см. рис. 12).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 4

Рис. 12.

Найдем значения в каждом случае.

1. У графика горизонтальная асимптота . После симметричного отображения эта асимптота не изменится. А вот после подъема графика асимптота тоже поднимется вверх на и это уже будет прямая . Таким образом, получаем первый ответ: .

2. Мы знаем абсциссу выколотой точки: . Эта точка принадлежит графику функции , поэтому можем найти ее ординату: .

Прямая проходит через эту точку, значит, .

Ответ: .

ЗАДАНИЕ для самостоятельной работы

Построить график функции

1. Построим график функции у =

2. Построим график функции у = - .

3. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.