Группа 1 БУ-67. Тема: Решение логарифмических уравнений.

Группа 1 БУ-67

Тема: Решение логарифмических уравнений.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и законспектировать их.

2. Записать примеры выполнения заданий.

3. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сфотографировать и отправлять на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

5. Выполненные задания сдать до: 26.10

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

С. 105-106

Ответить на вопросы устно:

1) Какие виды уравнений знаете вы?

2) Что значит решить уравнение

3) Что такое корень уравнения?

4) Какие уравнения называют логарифмическим?

5) Какие методы решения логарифмических уравнений вы рассматривали?

Решитеустно несколько уравнений используя определение логарифма, но прежде вспомним определение логарифма.(Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b ).

Примеры.

Log ₄ x = 2 ,

Log ₅ x = - 2,

Log _0,5 x = 2,

Log _x 4 = 2 ,

Log _x 5 = 1,

Log _x( - 4) = (- 4),

Log _x 1 = 0

Кроме рассмотренных методов, есть и другие методы решения логарифмических уравнений. Это метод решения логарифмического уравнения с переходом к другому основанию. Рассмотрим решение такого уравнения, но прежде вспомним формулу перехода к логарифму по другому основанию. (log_a b = , где а>0, b>0, c>0, a больше или равно 1, c больше или равно 1 )

log₂ x + log ₄ x + log ₁₆ x = 7

используя свойство , где а>0, b>0, , a больше или равно 1, n больше или равно 0 получаем

log₂ x + 0,5log₂x + 0,25log₂x = 7

1,75 log₂ x = 7

log ₂x = 4

x = 16

Ответ : 16

Примеры. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя определение, получим

a) x = 2³ или x = 8;

b) x = 3^-1 или x = ¹/₃;

c) или x = 1.

Примеры. Решить уравнения

a) log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3,	c) log_{(x - 2)}9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1}(2x² - 8x + 15) = 2.

Решение.

a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c Û b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³ или 3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение (x - 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований, x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

Примеры. Решить уравнения

a) log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24),

b) 16^log₄^{(1 - 2x)} = 5x² - 5

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Используя свойство и определение, получим

log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24) Û log₃x(x + 3) = log₃(x + 24), Û

, , , x = 4

b) Поскольку

используя свойства, получим, что в ОДЗ (x Î (-¥;-1)) уравнение равносильно уравнению (1 - 2x)² = 5x² - 5 или x² + 4x - 6 = 0,

откуда следует: x₁ = -2 - и x₂ = -2 + . Последнее значение x не входит в ОДЗ, остается единственное решение x = -2 - .

Домашнее задание

№337(1),

№340(1),

Решить уравнение lg²x - 3lgx + 2 = 0

12 Следующая ⇒