Направление выпуклости графика функции. Точка перегиба

Направление выпуклости графика функции. Точка перегиба

График функции называется выпуклым в некотором интервале, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной.

График функции называется вогнутым в некотором интервале, если в этом интервале он расположен выше любой своей касательной.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка , то функция вогнута (выпукла) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, в которой изменяется направление выпуклости и вогнутости.

Достаточный признак существования точки перегиба. Если в точке функция имеет первую производную, а вторая производная равна нулю или не существует и кроме того при переходе через меняет свой знак, то – точка перегиба.

Правило нахождения точек перегиба

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти , решить уравнение и найти точки x из области определения, в которых или не существует.

3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на промежутки, в которых вторая производная имеет один и тот же знак и в них найти знаки второй производной.

4) В промежутках, где вторая производная положительна, функция вогнутая, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпуклая.

5) Найти точки перегиба.