математическая статистика. Построить ряд относительных частот. Ряд накопленных частот. Построить ряд относительных частот. Интервальные вариационные ряды. Числовые характеристики вариационных рядов. исправленная дисперсия»: .. Среднее квадратическое откло

1. математическая статистика

Математическая статистика – это математическая наука посвященная разработке методов описания и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Дискретный вариационный ряд– это последовательность вариант , расположенных в возрастающем порядке с соответствующими им частотами .

Построить ряд относительных частот

X_i

w_i

Ряд накопленных частот

Построить ряд относительных частот

X_i

w_i

Интервальные вариационные ряды

Числовые характеристики вариационных рядов

1. Среднеарифметическое (математическое ожидание)

2. Дисперсия

3. «исправленная дисперсия»: .

4. Среднее квадратическое отклонение: .

5. Коэффициент вариации

6. Коэффициент ассиметрии

7. Эксцесс

8. Мода – это значение варианты, имеющей наибольшую частоту.

9. Медиана – это значение варианты, которая делит ранжированный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант четное, то в качестве медианы берут среднее арифметическое двух вариант, которые наиболее близки к середине.

“r

Пример Фиксировалась стоимость одной коробки шоколадных конфет «А» в различных магазинах города (руб. за одну коробку). Получены следующие данные:

50; 42; 48; 50; 48; 51; 45; 45; 50; 52; 55; 48; 48; 51; 50; 50; 48; 50; 52; 48; 51; 45; 48; 50; 51; 48; 52; 52; 45; 42; 45; 45; 55; 50; 50; 48; 52; 48; 48; 50; 51; 48; 52; 42; 45; 48; 50; 45; 42; 48; 48; 50; 50; 51; 45; 48; 48; 52; 51; 45; 45; 50; 48; 51; 52; 55; 48; 48; 50; 50; 48; 45; 50; 51; 48; 45; 48; 50; 51; 52; 48; 45; 48; 45; 50; 48; 50.

Требуется: 1) составить дискретный вариационный ряд; 2) построить полигон частот; 3) найти моду, медиану и размах ряда; 4) вычислить выборочную среднюю; выборочную смещенную дисперсию и «исправленную» выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение ; 5) сделать вывод с учетом полученных характеристик.

Решение:

1) Вначале ранжируем данные:

42; 42; 42; 42;

45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45; 45;

48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48; 48;

50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50; 50;

51; 51; 51; 51; 51; 51; 51; 51; 51; 51;

52; 52; 52; 52; 52; 52; 52; 52; 52;

55; 55; 55.

Тогда дискретный вариационный ряд примет вид:

- объем выборки.

2) Для построения полигона частот на оси абсцисс откладываем значения вариант , а на оси ординат – соответствующие им частоты :

48 50 51 52

х_i

n_i

3) Мода ; медиана ; размах .

4) Выборочная средняя равна:

= .

Выборочная дисперсия равна:

Тогда , а .

5) Вывод.

Таким образом, стоимость одной коробки шоколадных конфет «А» в магазинах города в среднем составляет 48,67 рублей.

Плотность стоимости колебалась в промежутке , т.е. от 45,75 руб. до 51,47 руб. Этот интервал показывает, что есть различия в стоимости этих шоколадных конфет.

Задание №1

Требуется: 1) составить дискретный вариационный ряд;

2) построить полигон частот;

3) найти моду, медиану и размах ряда;

4) вычислить выборочную среднюю; выборочную смещенную дисперсию и «исправленную» выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение ;

5) сделать вывод с учетом полученных характеристик.

1.1 Тест по математике содержит 7 заданий. Результаты верно решенных тестовых заданий студентами некоторого потока таковы:

6; 3; 4; 3; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 5; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 5; 3; 4; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 1; 1; 4; 3; 1;

0; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 3; 2; 1; 4; 5; 7; 4; 1; 3; 1; 2; 2; 5; 1; 3; 3; 3; 6; 6; 2; 1; 0; 3; 5; 5;

6; 5; 2; 4; 4; 6; 4; 4; 2; 0; 1; 3; 5; 6; 5; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 0; 4; 5; 5; 6; 5; 4; 6; 1; 0; 1;

2; 4; 2; 5; 1; 0; 1; 4; 7; 0; 3; 5; 4; 3; 5; 5; 4; 4.

1.2 Результаты взвешивания случайным образом отобранных пачек чая (в граммах) приведены ниже:

150; 147; 152; 148; 149; 153; 150; 150; 151; 150; 149; 147; 152; 153; 151; 152;

151; 149; 152; 150; 148; 152; 150; 152; 151; 148; 151; 152; 150; 150; 152; 150;

151; 149; 148; 149; 150; 150; 151; 149; 151; 150; 151; 150; 149; 148; 147; 153;

147; 152; 150; 151; 149; 150; 151; 153.

1.3В супермаркете проводились наблюдения над числом покупателей, обратившихся в кассу в течение одного определенного часа (с 17.00 до 18.00). Наблюдения велись не один месяц и дали следующие результаты:

50; 45; 52; 45; 43; 43; 63; 50; 52; 45; 52; 63; 75; 52; 43; 45; 63; 50; 43; 52; 63; 70;

45; 43; 45; 50; 43; 52; 52; 45; 63; 50; 75; 50; 45; 63; 43; 45; 45; 43; 52; 43; 52; 45;

63; 43; 43; 50; 52; 75; 63; 50; 45; 43; 50; 45; 70; 45; 63; 43; 52; 52; 45; 43; 45; 63;

70; 52; 50; 45; 63; 45; 50; 43; 45; 70; 43; 50; 52; 43; 50; 45; 43; 50; 63; 70; 50; 52.

1.4 В ходе наблюдений за проведением мгновенной лотереи получены следующие значения выигрышей (тыс.руб):

6; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 0; 0; 2; 0; 0; 6; 0; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 5; 2; 2; 0; 0; 10; 0; 1; 2; 1; 0;

0; 1; 0; 5; 0; 1; 0; 0; 6; 2; 0; 1; 0; 1; 2; 1; 0; 5; 6; 2; 0; 0; 5; 5; 0; 6; 1; 2; 0; 10; 0; 1;

2; 0; 5; 0; 1; 0; 2.

1.5 В городском парке каждый день (в течение летних каникул) фиксировалось количество посещений некоторого аттракциона. В результате чего получены следующие данные:

8; 5; 8; 25; 15; 25; 20; 30; 20; 25; 8; 7; 8; 15; 30; 20; 25; 15; 20; 8; 7; 5; 15; 5; 20;

25; 25; 8; 7; 25; 8; 30; 25; 20; 8; 20; 20; 25; 25; 15; 25; 15; 20; 25; 15; 7; 8; 7; 5;

7; 20; 7; 15; 8; 15; 20; 25; 5; 8; 20; 25; 8; 15; 5; 7; 8; 20; 8; 5; 8; 30; 25; 5; 7; 25;

20; 15; 25; 25; 20; 7; 8; 15; 8; 30.

1.6 В ресторане в течение нескольких недель фиксировалось количество заказов с доставкой на дом. Получен следующий ряд данных:

8; 3; 5; 0; 2; 3; 5; 6; 6; 8; 10; 5; 2; 6; 5; 6; 5; 0; 6; 0; 8; 8; 6; 8; 6; 10; 5; 5; 8; 6; 3;

3; 5; 2; 3; 2; 6; 6; 5; 6; 8; 10; 8; 8; 5; 5; 6; 3; 5; 10; 6; 6; 2; 0; 6; 6; 8; 5; 6; 6; 0; 5;

2; 8; 6; 3; 6; 8; 10; 8; 6; 5; 2.

1.7 На некоторой фирме проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

2; 6; 3; 0; 0; 7; 7; 5; 1; 3; 1; 0; 2; 10; 0; 1; 5; 7; 2; 6; 1; 3; 0; 10; 7; 7; 7; 0; 3; 2; 2;

5; 5; 0; 0; 3; 6; 6; 0; 7; 2; 10; 1; 5; 1; 2; 10; 0; 0; 7; 5; 0; 2; 2; 0; 1; 5; 0; 0; 3; 15.

1.8 На предприятии изготавливают определенный вид продукции. В течение нескольких месяцев проводился замер объема выпуска продукции (единиц продукции в неделю) и были получены следующие результаты:

25; 27; 27; 28; 28; 32; 28; 24; 20; 27; 24; 27; 24; 28; 27; 20; 20; 27; 25; 28; 25; 27;

24; 24; 27; 28; 28; 24; 25; 25; 27; 27; 28; 32; 27; 24; 25; 25; 24; 28; 24; 27; 25;

27; 20; 24; 27; 27; 28; 25; 27; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 28; 28; 28; 27; 24; 25; 28; 27;

20; 27; 28; 28; 27; 28; 32.

1.9Проводились исследования выручки в магазине одежды в течение нескольких недель (тыс.руб. в день) и были получены следующие данные:

37; 24; 10; 15; 15; 30; 22; 24; 24; 22; 37; 22; 24; 15; 24; 15; 22; 37; 37; 46; 30; 30;

24; 30; 30; 24; 15; 15; 37; 22; 15; 30; 24; 22; 22; 15; 24; 24; 30; 37; 22; 24; 37; 15;

15; 10; 22; 30; 24; 22; 24; 30; 37; 24; 24; 22; 22; 24; 15; 37; 30; 46; 30; 30; 22; 24;

24; 15; 22; 10; 15; 22.

1.10 По результатам социологического исследования получены следующие данные о стоимости потребительской корзины из 20 основных продуктов по городам некоторой области (у.е.):

15; 16; 5; 2; 16; 16; 17; 16; 15; 16; 17; 21; 15; 15; 17; 15; 15; 21; 16; 16; 17; 16; 15; 210; 21; 5; 16; 16; 16; 15; 16; 17; 17; 21; 16; 18; 16; 10; 18; 16; 15; 17; 18; 16; 15; 21; 16; 16; 15; 21; 16; 15; 18; 16; 15; 16; 21; 17; 17; 16; 16; 16; 16; 17; 18; 18; 15; 16; 15; 16; 16; 16; 18; 16; 16; 16; 18; 18; 17

1.11 Тест по математике содержит 7 заданий. Результаты верно решенных тестовых заданий студентами некоторого потока таковы:

6; 3; 4; 3; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 5; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 5; 3; 4; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 1; 1; 4; 3; 1;

0; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 3; 2; 1; 4; 5; 7; 4; 1; 3; 1; 2; 2; 5; 1; 3; 3; 3; 6; 6; 2; 1; 0; 3; 5; 5;

6; 5; 2; 4; 4; 6; 4; 4; 2; 0; 1; 3; 5; 6; 5; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 0; 4; 5; 5; 6; 5; 4; 6; 1; 0; 1;

2; 4; 2; 5; 1; 0; 1; 4; 7; 0; 3; 5; 4; 3; 5; 5; 4; 4.

1.12 Результаты взвешивания случайным образом отобранных пачек чая (в граммах) приведены ниже:

150; 147; 152; 148; 149; 153; 150; 150; 151; 150; 149; 147; 152; 153; 151; 152;

151; 149; 152; 150; 148; 152; 150; 152; 151; 148; 151; 152; 150; 150; 152; 150;

151; 149; 148; 149; 150; 150; 151; 149; 151; 150; 151; 150; 149; 148; 147; 153;

147; 152; 150; 151; 149; 150; 151; 153.

1.13В супермаркете проводились наблюдения над числом покупателей, обратившихся в кассу в течение одного определенного часа (с 17.00 до 18.00). Наблюдения велись не один месяц и дали следующие результаты:

50; 45; 52; 45; 43; 43; 63; 50; 52; 45; 52; 63; 75; 52; 43; 45; 63; 50; 43; 52; 63; 70;

45; 43; 45; 50; 43; 52; 52; 45; 63; 50; 75; 50; 45; 63; 43; 45; 45; 43; 52; 43; 52; 45;

63; 43; 43; 50; 52; 75; 63; 50; 45; 43; 50; 45; 70; 45; 63; 43; 52; 52; 45; 43; 45; 63;

70; 52; 50; 45; 63; 45; 50; 43; 45; 70; 43; 50; 52; 43; 50; 45; 43; 50; 63; 70; 50; 52.

1.14 В ходе наблюдений за проведением мгновенной лотереи получены следующие значения выигрышей (тыс.руб):

6; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 0; 0; 2; 0; 0; 6; 0; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 5; 2; 2; 0; 0; 10; 0; 1; 2; 1; 0;

0; 1; 0; 5; 0; 1; 0; 0; 6; 2; 0; 1; 0; 1; 2; 1; 0; 5; 6; 2; 0; 0; 5; 5; 0; 6; 1; 2; 0; 10; 0; 1;

2; 0; 5; 0; 1; 0; 2.

1.15 В городском парке каждый день (в течение летних каникул) фиксировалось количество посещений некоторого аттракциона. В результате чего получены следующие данные:

8; 5; 8; 25; 15; 25; 20; 30; 20; 25; 8; 7; 8; 15; 30; 20; 25; 15; 20; 8; 7; 5; 15; 5; 20;

25; 25; 8; 7; 25; 8; 30; 25; 20; 8; 20; 20; 25; 25; 15; 25; 15; 20; 25; 15; 7; 8; 7; 5;

7; 20; 7; 15; 8; 15; 20; 25; 5; 8; 20; 25; 8; 15; 5; 7; 8; 20; 8; 5; 8; 30; 25; 5; 7; 25;

20; 15; 25; 25; 20; 7; 8; 15; 8; 30.

1.16 В ресторане в течение нескольких недель фиксировалось количество заказов с доставкой на дом. Получен следующий ряд данных:

8; 3; 5; 0; 2; 3; 5; 6; 6; 8; 10; 5; 2; 6; 5; 6; 5; 0; 6; 0; 8; 8; 6; 8; 6; 10; 5; 5; 8; 6; 3;

3; 5; 2; 3; 2; 6; 6; 5; 6; 8; 10; 8; 8; 5; 5; 6; 3; 5; 10; 6; 6; 2; 0; 6; 6; 8; 5; 6; 6; 0; 5;

2; 8; 6; 3; 6; 8; 10; 8; 6; 5; 2.

1.17 На некоторой фирме проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

2; 6; 3; 0; 0; 7; 7; 5; 1; 3; 1; 0; 2; 10; 0; 1; 5; 7; 2; 6; 1; 3; 0; 10; 7; 7; 7; 0; 3; 2; 2;

5; 5; 0; 0; 3; 6; 6; 0; 7; 2; 10; 1; 5; 1; 2; 10; 0; 0; 7; 5; 0; 2; 2; 0; 1; 5; 0; 0; 3; 15.

1.18 На предприятии изготавливают определенный вид продукции. В течение нескольких месяцев проводился замер объема выпуска продукции (единиц продукции в неделю) и были получены следующие результаты:

25; 27; 27; 28; 28; 32; 28; 24; 20; 27; 24; 27; 24; 28; 27; 20; 20; 27; 25; 28; 25; 27;

24; 24; 27; 28; 28; 24; 25; 25; 27; 27; 28; 32; 27; 24; 25; 25; 24; 28; 24; 27; 25;

27; 20; 24; 27; 27; 28; 25; 27; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 28; 28; 28; 27; 24; 25; 28; 27;

20; 27; 28; 28; 27; 28; 32.

1.19Проводились исследования выручки в магазине одежды в течение нескольких недель (тыс.руб. в день) и были получены следующие данные:

37; 24; 10; 15; 15; 30; 22; 24; 24; 22; 37; 22; 24; 15; 24; 15; 22; 37; 37; 46; 30; 30;

24; 30; 30; 24; 15; 15; 37; 22; 15; 30; 24; 22; 22; 15; 24; 24; 30; 37; 22; 24; 37; 15;

15; 10; 22; 30; 24; 22; 24; 30; 37; 24; 24; 22; 22; 24; 15; 37; 30; 46; 30; 30; 22; 24;

24; 15; 22; 10; 15; 22.

1.20 По результатам социологического исследования получены следующие данные о стоимости потребительской корзины из 20 основных продуктов по городам некоторой области (у.е.):

1.21 Тест по математике содержит 7 заданий. Результаты верно решенных тестовых заданий студентами некоторого потока таковы:

6; 3; 4; 3; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 5; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 5; 3; 4; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 1; 1; 4; 3; 1;

0; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 3; 2; 1; 4; 5; 7; 4; 1; 3; 1; 2; 2; 5; 1; 3; 3; 3; 6; 6; 2; 1; 0; 3; 5; 5;

6; 5; 2; 4; 4; 6; 4; 4; 2; 0; 1; 3; 5; 6; 5; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 0; 4; 5; 5; 6; 5; 4; 6; 1; 0; 1;

2; 4; 2; 5; 1; 0; 1; 4; 7; 0; 3; 5; 4; 3; 5; 5; 4; 4.

1.22 Результаты взвешивания случайным образом отобранных пачек чая (в граммах) приведены ниже:

150; 147; 152; 148; 149; 153; 150; 150; 151; 150; 149; 147; 152; 153; 151; 152;

151; 149; 152; 150; 148; 152; 150; 152; 151; 148; 151; 152; 150; 150; 152; 150;

151; 149; 148; 149; 150; 150; 151; 149; 151; 150; 151; 150; 149; 148; 147; 153;

147; 152; 150; 151; 149; 150; 151; 153.

1.23В супермаркете проводились наблюдения над числом покупателей, обратившихся в кассу в течение одного определенного часа (с 17.00 до 18.00). Наблюдения велись не один месяц и дали следующие результаты:

50; 45; 52; 45; 43; 43; 63; 50; 52; 45; 52; 63; 75; 52; 43; 45; 63; 50; 43; 52; 63; 70;

45; 43; 45; 50; 43; 52; 52; 45; 63; 50; 75; 50; 45; 63; 43; 45; 45; 43; 52; 43; 52; 45;

63; 43; 43; 50; 52; 75; 63; 50; 45; 43; 50; 45; 70; 45; 63; 43; 52; 52; 45; 43; 45; 63;

70; 52; 50; 45; 63; 45; 50; 43; 45; 70; 43; 50; 52; 43; 50; 45; 43; 50; 63; 70; 50; 52.

1.24 В ходе наблюдений за проведением мгновенной лотереи получены следующие значения выигрышей (тыс.руб):

6; 0; 2; 0; 1; 1; 5; 0; 0; 2; 0; 0; 6; 0; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 5; 2; 2; 0; 0; 10; 0; 1; 2; 1; 0;

0; 1; 0; 5; 0; 1; 0; 0; 6; 2; 0; 1; 0; 1; 2; 1; 0; 5; 6; 2; 0; 0; 5; 5; 0; 6; 1; 2; 0; 10; 0; 1;

2; 0; 5; 0; 1; 0; 2.

1.25 В городском парке каждый день (в течение летних каникул) фиксировалось количество посещений некоторого аттракциона. В результате чего получены следующие данные:

8; 5; 8; 25; 15; 25; 20; 30; 20; 25; 8; 7; 8; 15; 30; 20; 25; 15; 20; 8; 7; 5; 15; 5; 20;

25; 25; 8; 7; 25; 8; 30; 25; 20; 8; 20; 20; 25; 25; 15; 25; 15; 20; 25; 15; 7; 8; 7; 5;

7; 20; 7; 15; 8; 15; 20; 25; 5; 8; 20; 25; 8; 15; 5; 7; 8; 20; 8; 5; 8; 30; 25; 5; 7; 25;

20; 15; 25; 25; 20; 7; 8; 15; 8; 30.

1.26 В ресторане в течение нескольких недель фиксировалось количество заказов с доставкой на дом. Получен следующий ряд данных:

8; 3; 5; 0; 2; 3; 5; 6; 6; 8; 10; 5; 2; 6; 5; 6; 5; 0; 6; 0; 8; 8; 6; 8; 6; 10; 5; 5; 8; 6; 3;

3; 5; 2; 3; 2; 6; 6; 5; 6; 8; 10; 8; 8; 5; 5; 6; 3; 5; 10; 6; 6; 2; 0; 6; 6; 8; 5; 6; 6; 0; 5;

2; 8; 6; 3; 6; 8; 10; 8; 6; 5; 2.

1.27 На некоторой фирме проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

2; 6; 3; 0; 0; 7; 7; 5; 1; 3; 1; 0; 2; 10; 0; 1; 5; 7; 2; 6; 1; 3; 0; 10; 7; 7; 7; 0; 3; 2; 2;

5; 5; 0; 0; 3; 6; 6; 0; 7; 2; 10; 1; 5; 1; 2; 10; 0; 0; 7; 5; 0; 2; 2; 0; 1; 5; 0; 0; 3; 15.

1.28 На предприятии изготавливают определенный вид продукции. В течение нескольких месяцев проводился замер объема выпуска продукции (единиц продукции в неделю) и были получены следующие результаты:

25; 27; 27; 28; 28; 32; 28; 24; 20; 27; 24; 27; 24; 28; 27; 20; 20; 27; 25; 28; 25; 27;

24; 24; 27; 28; 28; 24; 25; 25; 27; 27; 28; 32; 27; 24; 25; 25; 24; 28; 24; 27; 25;

27; 20; 24; 27; 27; 28; 25; 27; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 28; 28; 28; 27; 24; 25; 28; 27;

20; 27; 28; 28; 27; 28; 32.

1.29Проводились исследования выручки в магазине одежды в течение нескольких недель (тыс.руб. в день) и были получены следующие данные:

37; 24; 10; 15; 15; 30; 22; 24; 24; 22; 37; 22; 24; 15; 24; 15; 22; 37; 37; 46; 30; 30;

24; 30; 30; 24; 15; 15; 37; 22; 15; 30; 24; 22; 22; 15; 24; 24; 30; 37; 22; 24; 37; 15;

15; 10; 22; 30; 24; 22; 24; 30; 37; 24; 24; 22; 22; 24; 15; 37; 30; 46; 30; 30; 22; 24;

24; 15; 22; 10; 15; 22.

1.30 По результатам социологического исследования получены следующие данные о стоимости потребительской корзины из 20 основных продуктов по городам некоторой области (у.е.):