Контакты

Случайная статья

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВТОРОГО ПОРЯДКА. С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.. Пример.. Пример.. Пример.. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Линейное дифференциальное уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

где p, g – некоторые действительные числа, r(x) – некоторая функция. Мы будем рассматривать однородные уравнения (r(x) = 0), т.е. уравнения вида

Рассмотрим решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем его характеристическое уравнение:

.

Находим его корни. При этом, если:

1. корни вещественные различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

2. корни вещественные кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

3. корни комплексные, т.е. , то общее решение имеет вид:

Пример.

.

Решение.

Запишем и решим характеристическое уравнение:

,

.

Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Пример.

.

Решение.

,

,

- корни кратные, вещественные,

- общее решение.

Пример.

.

Решение.

,

,

корни комплексные,

- общее решение.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Доказать, что для данных дифференциальных уравнений указанные функции являются решениями при любом значении , найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

1.

2. .

2.Найти общие решения уравнений с разделяющимися переменными:

1. ;

2. .

3.Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка:

1. ;

2. .

4.Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1. ;

2. .

5.Решить дифференциальные уравнения:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.