Треугольник

Треугольник

Обозначения: А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах; а, b, с — стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно; h_a , h_b , h_c — высоты, опущенные на стороны а, b, с соответственно; m_a , m_b , m_c — медианы; l_a , l_b , l_c — биссектрисы; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности.

Подобие треугольников

Признак 1	Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.
Признак 2	Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны.
Признак 3	Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.
	Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Если треугольники подобны, то

Пропорциональные отрезки в треугольнике Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение. Высоты треугольника пересекаются в одной точке О,называемой ортоцентром. Втупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. Впрямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника. Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины).

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.

Равенство треугольников

Признак 1	Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 2	Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 3	Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совместятся.

Если

то соответственные стороны равны

и соответственные углы равны

Неавенства треугольника Всякая сторона треугольника меньше суммыи больше разности двух сторон Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.