Степень с иррациональным и действительным показателем

Степень с иррациональным и действительным показателем

Известно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Поэтому степень с действительным показателем можно будет считать определенной, когда будут определены степень с рациональным показателем и степень с иррациональным показателем. Про степень с рациональным показателем мы говорили в предыдущем пункте, осталось разобраться со степенью с иррациональным показателем.

К понятию степени числа a с иррациональным показателем будем подходить постепенно.

Пусть - последовательность десятичных приближений иррационального числа . Для примера возьмем иррациональное число , тогда можно принять , или , и т.п. Здесь стоит отметить, что числа - рациональные.

Последовательности рациональных чисел соответствует последовательность степеней , причем мы можем вычислить значения этих степеней на базе материала статьи возведение в рациональную степень. В качестве примера возьмем a=3, и , тогда , а после возведения в степень получаем .

Наконец, последовательность сходится к некоторому числу, которое и является значением степени числа a с иррациональным показателем . Вернемся к нашему примеру: степень с иррациональным показателем вида сходится к числу, которое с точностью до сотых равно 6,27.

Определение.

Степенью положительного числа a с иррациональным показателем называют выражение , значение которого равно пределу последовательности , где - последовательные десятичные приближения иррационального числа .

Степень числа нуль определяется для положительных иррациональных показателей, при этом . Например, . А степень числа 0 с отрицательным иррациональным показателем не определяется, к примеру, - не определены.

Отдельно стоит сказать про иррациональную степень единицы – единица в любой иррациональной степени равна 1. Например, и .