Формулы сокращённого умножения.

Руководство по решению задач к занятию 1.

Формулы сокращённого умножения.

При возведении двучлена в степень, умножении многочленов, разложении их на множители и других тождественных преобразованиях многочленов применяются специальные формулы, которые называются формулами сокращенного умножения.

1) (a + b) = a + 2ab + b ;

2) (a - b) = a - 2ab + b ;

3) a - b = (a – b) (a + b) ;

4) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b ;

5) (a - b) = a - 3a b + 3ab - b ;

6) a - b = (a – b)( a + ab + b );

7) a + b = (a + b)( a - ab + b );

Устно эти формулы произносятся следующим образом:

1) квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной с их удвоенным произведением;

2) разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму;

3) разность кубов двух чисел равно разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат их суммы ( выражение a + ab + b называется неполным квадратом суммы двух чисел, а выражение a - ab + b - неполным квадратом разности).

Пример 1. Устно умножить 41 39.

41 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40 - 1 = 1599

Пример 2.Устно вычислить 49 .

49 =(50 – 1) = 50 - 2 50 + 1 = 2500 – 100 + 1 = 2401

Пример 3.Преобразовать выражение

(1 – a)(1 - a + a )(1 + a + a )(1 + a)

Произведение первой скобки на третью – это произведение разности чисел 1 и a на неполный квадрат их суммы, т.е. можно применить формулу разности кубов (формула 6):

(1 – a)(1 + a + a ) = 1 - a .

Произведение четвертого сомножителя и второго равно сумме кубов чисел 1 и a (формула 7). Следовательно,

(1 – a)(1 - a + a )(1 + a + a )(1 + a) = (1 - a )(1 + a ).

Произведение разности чисел 1 и a на их же сумму равно разности квадратов этих чисел (формула 3):

(1 - a )(1 + a ) = 1 – (a ) = 1 - a .