Построение фазового портрета нелинейной системы управления

Нелинейные системы управления

Практическое занятие № 2

Построение фазового портрета нелинейной системы управления

Методические рекомендации

по линеаризации нелинейных уравнений вблизи особых точек

Задание: построить фазовый портрет нелинейной системы, описываемой нелинейными уравнениями

(1)

Приравнивая правые части дифференциальных уравнений к нулю, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для нахождения особых точек

(2)

Решения ищем графически

Анализ графика показывает, что система (2) имеет три решения. Следовательно, нелинейная система, описываемая дифференциальными уравнениями (1), имеет три особые точки с координатами:

Линеаризацию уравнений (1) проводим, используя разложение нелинейной функции в ряд Тейлора вблизи особых точек.

Линеаризуем в окрестности точки (0,0):

Уравнения (1) в результате линеаризации могут быть записаны в виде

Для получения характеристического уравнения перепишем полученные линейные уравнения в виде

(3)

Характеристическое уравнение системы (3):

(4)

Уравнение (4) имеет два корня: l₁= i и l₂= -i. Корни чисто мнимые, следовательно особая точка (0, 0) – типа «центр».

Линеаризуем в окрестности особой точки с координатами (1, -1):

В линейных системах особая точка находится в начале координат, поэтому для определения типа особой точки в линеаризованной системе введем новые переменные

В новых переменных линеаризованная система

будет иметь вид

(5)

Переписывая уравнения (5) в виде

получаем характеристическое уравнение в виде

. (6)

Решить характеристическое уравнение (6) и определить тип особой точки (1, -1), а также провести линеаризацию в окрестности точки (-1, 1) и определить тип особой точки

(-1, 1) магистрантам рекомендуется самостоятельно.

Далее необходимо выполнить пункты 5 – 7 Задания на выполнение ПЗ 2.

Примечание: п. 5 Задания можно выполнить с использованием команды ode45.