Тема: Решение упражнений по теме «Решение неравенств методом интервалов»

Тема: Решение упражнений по теме «Решение неравенств методом интервалов»

Дата: 12.10.2020 г.

Группа: ПЦ-265

Студенты должны знать: алгоритм решения нелинейных неравенств методом интервалов, понятия строгого и нестрогого неравенства.

Студенты должны уметь: решать неравенства методом интервалом, находить нули функции, изображать графически интервалы, учитывая знаки.

1.Актуализация знаний

2. Решение упражнений

Пример 1

Решите неравенство (x−1)⋅(x+5)² _≤0

(x−√7)⋅(x−1)³

Решение: Целесообразно применить для решения неравенства метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя. Нули числителя 1 и −5, нули знаменателя √7 и 1. Отметим их на числовой прямой. Мы имеем дело с нестрогим неравенством, поэтому нули знаменателя отметим пустыми точками, нуль числителя −5 отметим обычной закрашенной точкой.

Проставим знаки промежутков, используя правила изменения знака при переходе через нуль. Начнем с крайнего правого промежутка, для которого вычислим значение выражения из левой части неравенства в точке, произвольно взятой из промежутка. Получим знак «+». Перейдем последовательно через все точки на координатной прямой, расставляя знаки, и получим:

Мы работаем с нестрогим неравенством, имеющим знак _≤. Это значит, что нам необходимо отметить штриховкой промежутки, отмеченные знаком «−».

Ответ: (−∞,1)∪(1,√7)(-∞,1)∪(1,7).

Пример 2

Найдите решение неравенства (x²+3x+3)(x+3) _>0

x²+2⋅x−8

Решение: Давайте посмотрим, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в записи неравенства отрицательны. Это позволит нам определить, позволяет ли вид данного неравенства применить для решения метод интервалов.

Вычислим дискриминант для трехчлена x²+3x+3: D=3²−4⋅1⋅3=−3 <0 Теперь вычислим дискриминант для трехчлена x²+2x−8: D=1²−1⋅(−8) = 9 >0

Как видите, неравенство требует предварительного преобразования. Для этого представим трехчлен x²+2x−8 как (x+4)(x−2), а потом применим метод интервалов для решения неравенства (x²+3x+3) (x+3) _>0

(x+4)(x−2)

Ответ: (−4,−3)∪(2,+∞)

12 Следующая ⇒