Рисунок 11-7. Критическая область для F-критерия

Сравнение двух дисперсий

В части гипотез, которые мы проверили выше, предполагалось,

что дисперсии двух генеральных совокупностей равны. У нас имеется

возможность проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

В случае, когда генеральные совокупности имеют нормальное

распределение, для этого существует F-критерий, называемый также

критерием Фишера. Итак, мы располагаем двумя простыми случайными

выборками, полученными из двух нормально распределенных

генеральных совокупностей. Выборки являются независимыми. Мы

хотим проверить гипотезу о равенстве дисперсий генеральных

совокупностей:

Обозначения:

- генеральные дисперсии,

выборочные дисперсии,

- объемы выборок.

Рисунок 11-7. Критическая область для F-критерия

Для того, чтобы воспользоваться критерием, необходимо, чтобы:

Если это условие не выполнено, мы просто должны поменять

нумерацию генеральных совокупностей местами, и тогда условие

окажется выполнено. Условие требуется потому, что в этом критерии

других альтернативных гипотез не рассматривается и это объясняется

свойствами распределения Фишера. Итак, первая выборочная

дисперсия обязана быть больше второй. Если же дисперсии

совпадают, то у нас нет оснований думать, что дисперсии исследуемых

генеральных совокупностей отличаются.

Для проверки гипотезы используется статистика:

Эта статистика имеет F-распределение с числом степеней свободы:

числителя df1 = n1 – 1 и знаменателя df2 = n2 – 1.

Мы встречались с F-распределением и знаем, что оно

характеризуется двумя параметрами: числом степеней свободы

числителя и знаменателя. Таблицы критических значений для этого

распределения являются «трехмерными», поскольку каждое критическое

значение определяется в зависимости от двух значений степеней

свободы и значения α. В приложении A-5 эти таблицы приведены для α

= 0,05 и α = 0,01.

Уравнение критической области:

P(F > fα ) =α

Пример. Курить или не курить?Исследователь-медик хочет

убедиться, что имеется различие между частотой биения сердца у

курящих и некурящих пациентов (кол-во ударов в минуту). Результаты

двух случайно отобранных групп:

Курящие:

Некурящие:

Требуется выяснить, прав ли медик. Уровень значимости α = 0,05.

ШАГ 1. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:

ШАГ 2. Задан уровень значимости α =0,05.

ШАГ 3. Найдем критическое значение и построим критическую

область. Вычислим степени свободы:

Так как α = 0,05, то находим в таблице A-5, что критическое

значение равно 2,19.

ШАГ 4. По выборке вычисляем значение статистики:

ШАГ 5. Сравним полученное значение с критической областью.

Значение статистики 3,6 > 2,19, попадает в критическую

область.

ШАГ 6. Формулируем ответ. Медик абсолютно прав – различие

имеется и является статистически значимым.__