Практическая работа 8. Основные законы распределения. непрерывной случайной величины. Основные понятия.

Практическая работа 8

Основные законы распределения

непрерывной случайной величины

Цель работы:освоение нахождения значений, вероятностей и характеристик случайных величин, распределенных по основным законам НСВ.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Компьютерные программы:Компьютерные программы не используются

Содержание работы:

Основные понятия.

1 Говорят, что случайная величина распределена равномерно в конечном интервале (а,b), если все ее возможные значения сосредоточены на этом интервале, и плотность распределения ее вероятностей на этом интервале постоянна.

2 Функция плотности распределения задается формулой:

3 Функция распределения задается формулой:

4 Числовые характеристики:

5 Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью где λ - постоянная положительная величина.

6 Функция распределения показательного закона

7 Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону,

8 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения:

9 Нормальным называется распределение вероятности непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
где a – математическое ожидание, s – среднее квадратическое отклонение

10 Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), , где - интегральная функция Лапласа.

11 Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа d,

12 Правило трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Таблица значений функции Лапласа

x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)
0	0	1	0,3413447	2	0,4772499	3	0,4986501	4	0,4999683
0,01	0,0039894	1,01	0,3437524	2,01	0,4777844	3,01	0,4986938	4,01	0,4999696
0,02	0,0079783	1,02	0,3461358	2,02	0,4783083	3,02	0,4987361	4,02	0,4999709
0,03	0,0119665	1,03	0,3484950	2,03	0,4788217	3,03	0,4987772	4,03	0,4999721
0,04	0,0159534	1,04	0,3508300	2,04	0,4793248	3,04	0,4988171	4,04	0,4999733
0,05	0,0199388	1,05	0,3531409	2,05	0,4798178	3,05	0,4988558	4,05	0,4999744
0,06	0,0239222	1,06	0,3554277	2,06	0,4803007	3,06	0,4988933	4,06	0,4999755
0,07	0,0279032	1,07	0,3576903	2,07	0,4807738	3,07	0,4989297	4,07	0,4999765
0,08	0,0318814	1,08	0,3599289	2,08	0,4812372	3,08	0,4989650	4,08	0,4999775
0,09	0,0358564	1,09	0,3621434	2,09	0,4816911	3,09	0,4989992	4,09	0,4999784
0,1	0,0398278	1,1	0,3643339	2,1	0,4821356	3,1	0,4990324	4,1	0,4999793
0,11	0,0437953	1,11	0,3665005	2,11	0,4825708	3,11	0,4990646	4,11	0,4999802
0,12	0,0477584	1,12	0,3686431	2,12	0,4829970	3,12	0,4990957	4,12	0,4999811
0,13	0,0517168	1,13	0,3707619	2,13	0,4834142	3,13	0,4991260	4,13	0,4999819
0,14	0,0556700	1,14	0,3728568	2,14	0,4838226	3,14	0,4991553	4,14	0,4999826
0,15	0,0596177	1,15	0,3749281	2,15	0,4842224	3,15	0,4991836	4,15	0,4999834
0,16	0,0635595	1,16	0,3769756	2,16	0,4846137	3,16	0,4992112	4,16	0,4999841
0,17	0,0674949	1,17	0,3789995	2,17	0,4849966	3,17	0,4992378	4,17	0,4999848
0,18	0,0714237	1,18	0,3809999	2,18	0,4853713	3,18	0,4992636	4,18	0,4999854
0,19	0,0753454	1,19	0,3829768	2,19	0,4857379	3,19	0,4992886	4,19	0,4999861
0,2	0,0792597	1,2	0,3849303	2,2	0,4860966	3,2	0,4993129	4,2	0,4999867
0,21	0,0831662	1,21	0,3868606	2,21	0,4864474	3,21	0,4993363	4,21	0,4999872
0,22	0,0870644	1,22	0,3887676	2,22	0,4867906	3,22	0,4993590	4,22	0,4999878
0,23	0,0909541	1,23	0,3906514	2,23	0,4871263	3,23	0,4993810	4,23	0,4999883
0,24	0,0948349	1,24	0,3925123	2,24	0,4874545	3,24	0,4994024	4,24	0,4999888
0,25	0,0987063	1,25	0,3943502	2,25	0,4877755	3,25	0,4994230	4,25	0,4999893
0,26	0,1025681	1,26	0,3961653	2,26	0,4880894	3,26	0,4994429	4,26	0,4999898
0,27	0,1064199	1,27	0,3979577	2,27	0,4883962	3,27	0,4994623	4,27	0,4999902
0,28	0,1102612	1,28	0,3997274	2,28	0,4886962	3,28	0,4994810	4,28	0,4999907
0,29	0,1140919	1,29	0,4014747	2,29	0,4889893	3,29	0,4994991	4,29	0,4999911
0,3	0,1179114	1,3	0,4031995	2,3	0,4892759	3,3	0,4995166	4,3	0,4999915
0,31	0,1217195	1,31	0,4049021	2,31	0,4895559	3,31	0,4995335	4,31	0,4999918
0,32	0,1255158	1,32	0,4065825	2,32	0,4898296	3,32	0,4995499	4,32	0,4999922
0,33	0,1293000	1,33	0,4082409	2,33	0,4900969	3,33	0,4995658	4,33	0,4999925
0,34	0,1330717	1,34	0,4098773	2,34	0,4903581	3,34	0,4995811	4,34	0,4999929
0,35	0,1368307	1,35	0,4114920	2,35	0,4906133	3,35	0,4995959	4,35	0,4999932
0,36	0,1405764	1,36	0,4130850	2,36	0,4908625	3,36	0,4996103	4,36	0,4999935
0,37	0,1443088	1,37	0,4146565	2,37	0,4911060	3,37	0,4996242	4,37	0,4999938
0,38	0,1480273	1,38	0,4162067	2,38	0,4913437	3,38	0,4996376	4,38	0,4999941
0,39	0,1517317	1,39	0,4177356	2,39	0,4915758	3,39	0,4996505	4,39	0,4999943
0,4	0,1554217	1,4	0,4192433	2,4	0,4918025	3,4	0,4996631	4,4	0,4999946
0,41	0,1590970	1,41	0,4207302	2,41	0,4920237	3,41	0,4996752	4,41	0,4999948
0,42	0,1627573	1,42	0,4221962	2,42	0,4922397	3,42	0,4996869	4,42	0,4999951
0,43	0,1664022	1,43	0,4236415	2,43	0,4924506	3,43	0,4996982	4,43	0,4999953
0,44	0,1700314	1,44	0,4250663	2,44	0,4926564	3,44	0,4997091	4,44	0,4999955
0,45	0,1736448	1,45	0,4264707	2,45	0,4928572	3,45	0,4997197	4,45	0,4999957
0,46	0,1772419	1,46	0,4278550	2,46	0,4930531	3,46	0,4997299	4,46	0,4999959
0,47	0,1808225	1,47	0,4292191	2,47	0,4932443	3,47	0,4997398	4,47	0,4999961
0,48	0,1843863	1,48	0,4305634	2,48	0,4934309	3,48	0,4997493	4,48	0,4999963
0,49	0,1879331	1,49	0,4318879	2,49	0,4936128	3,49	0,4997585	4,49	0,4999964
0,5	0,1914625	1,5	0,4331928	2,5	0,4937903	3,5	0,4997674	4,5	0,4999966
0,51	0,1949743	1,51	0,4344783	2,51	0,4939634	3,51	0,4997759	4,51	0,4999968
0,52	0,1984682	1,52	0,4357445	2,52	0,4941323	3,52	0,4997842	4,52	0,4999969
0,53	0,2019440	1,53	0,4369916	2,53	0,4942969	3,53	0,4997922	4,53	0,4999971
0,54	0,2054015	1,54	0,4382198	2,54	0,4944574	3,54	0,4997999	4,54	0,4999972
0,55	0,2088403	1,55	0,4394292	2,55	0,4946139	3,55	0,4998074	4,55	0,4999973
0,56	0,2122603	1,56	0,4406201	2,56	0,4947664	3,56	0,4998146	4,56	0,4999974
0,57	0,2156612	1,57	0,4417924	2,57	0,4949151	3,57	0,4998215	4,57	0,4999976
0,58	0,2190427	1,58	0,4429466	2,58	0,4950600	3,58	0,4998282	4,58	0,4999977
0,59	0,2224047	1,59	0,4440826	2,59	0,4952012	3,59	0,4998347	4,59	0,4999978
0,6	0,2257469	1,6	0,4452007	2,6	0,4953388	3,6	0,4998409	4,6	0,4999979
0,61	0,2290691	1,61	0,4463011	2,61	0,4954729	3,61	0,4998469	4,61	0,4999980
0,62	0,2323711	1,62	0,4473839	2,62	0,4956035	3,62	0,4998527	4,62	0,4999981
0,63	0,2356527	1,63	0,4484493	2,63	0,4957308	3,63	0,4998583	4,63	0,4999982
0,64	0,2389137	1,64	0,4494974	2,64	0,4958547	3,64	0,4998637	4,64	0,4999983
0,65	0,2421539	1,65	0,4505285	2,65	0,4959754	3,65	0,4998689	4,65	0,4999983
0,66	0,2453731	1,66	0,4515428	2,66	0,4960930	3,66	0,4998739	4,66	0,4999984
0,67	0,2485711	1,67	0,4525403	2,67	0,4962074	3,67	0,4998787	4,67	0,4999985
0,68	0,2517478	1,68	0,4535213	2,68	0,4963189	3,68	0,4998834	4,68	0,4999986
0,69	0,2549029	1,69	0,4544860	2,69	0,4964274	3,69	0,4998879	4,69	0,4999986
0,7	0,2580363	1,7	0,4554345	2,7	0,4965330	3,7	0,4998922	4,7	0,4999987
0,71	0,2611479	1,71	0,4563671	2,71	0,4966358	3,71	0,4998964	4,71	0,4999988
0,72	0,2642375	1,72	0,4572838	2,72	0,4967359	3,72	0,4999004	4,72	0,4999988
0,73	0,2673049	1,73	0,4581849	2,73	0,4968333	3,73	0,4999043	4,73	0,4999989
0,74	0,2703500	1,74	0,4590705	2,74	0,4969280	3,74	0,4999080	4,74	0,4999989
0,75	0,2733726	1,75	0,4599408	2,75	0,4970202	3,75	0,4999116	4,75	0,4999990
0,76	0,2763727	1,76	0,4607961	2,76	0,4971099	3,76	0,4999150	4,76	0,4999990
0,77	0,2793501	1,77	0,4616364	2,77	0,4971972	3,77	0,4999184	4,77	0,4999991
0,78	0,2823046	1,78	0,4624620	2,78	0,4972821	3,78	0,4999216	4,78	0,4999991
0,79	0,2852361	1,79	0,4632730	2,79	0,4973646	3,79	0,4999247	4,79	0,4999992
0,8	0,2881446	1,8	0,4640697	2,8	0,4974449	3,8	0,4999277	4,8	0,4999992
0,81	0,2910299	1,81	0,4648521	2,81	0,4975229	3,81	0,4999305	4,81	0,4999992
0,82	0,2938919	1,82	0,4656205	2,82	0,4975988	3,82	0,4999333	4,82	0,4999993
0,83	0,2967306	1,83	0,4663750	2,83	0,4976726	3,83	0,4999359	4,83	0,4999993
0,84	0,2995458	1,84	0,4671159	2,84	0,4977443	3,84	0,4999385	4,84	0,4999994
0,85	0,3023375	1,85	0,4678432	2,85	0,4978140	3,85	0,4999409	4,85	0,4999994
0,86	0,3051055	1,86	0,4685572	2,86	0,4978818	3,86	0,4999433	4,86	0,4999994
0,87	0,3078498	1,87	0,4692581	2,87	0,4979476	3,87	0,4999456	4,87	0,4999994
0,88	0,3105703	1,88	0,4699460	2,88	0,4980116	3,88	0,4999478	4,88	0,4999995
0,89	0,3132671	1,89	0,4706210	2,89	0,4980738	3,89	0,4999499	4,89	0,4999995
0,9	0,3159399	1,9	0,4712834	2,9	0,4981342	3,9	0,4999519	4,9	0,4999995
0,91	0,3185887	1,91	0,4719334	2,91	0,4981929	3,91	0,4999539	4,91	0,4999995
0,92	0,3212136	1,92	0,4725711	2,92	0,4982498	3,92	0,4999557	4,92	0,4999996
0,93	0,3238145	1,93	0,4731966	2,93	0,4983052	3,93	0,4999575	4,93	0,4999996
0,94	0,3263912	1,94	0,4738102	2,94	0,4983589	3,94	0,4999593	4,94	0,4999996
0,95	0,3289439	1,95	0,4744119	2,95	0,4984111	3,95	0,4999609	4,95	0,4999996
0,96	0,3314724	1,96	0,4750021	2,96	0,4984618	3,96	0,4999625	4,96	0,4999996
0,97	0,3339768	1,97	0,4755808	2,97	0,4985110	3,97	0,4999641	4,97	0,4999997
0,98	0,3364569	1,98	0,4761482	2,98	0,4985588	3,98	0,4999655	4,98	0,4999997
0,99	0,3389129	1,99	0,4767045	2,99	0,4986051	3,99	0,4999670	4,99	0,499999

Задание

1 Найти закон распределения и характеристики случайной величины, распределенной равномерно

2 Найти закон распределения и характеристики случайной величины с показательным (экспоненциальным) распределением

3 Найти закон распределения нормально распределенной случайной величины

Пример выполнения:

1 Исходные данные:

Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Составить закон распределения случайной величины и ее характеристики. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через 1 мин после ухода предыдущего трамвая, но не позднее, чем за 2 мин до отхода следующего?

Решение:

1 Т.к трамваи идут равномерно с интервалом 5 мин, то плотность распределения

2 Функция распределения задается формулой:

3 Числовые характеристики:

4 Вероятность появления пассажира не ранее, чем через 1 мин после ухода предыдущего трамвая, но не позднее, чем за 2 мин до отхода следующего

2 Исходные данные:

Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону (t > 0). Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 ч

Решение:

1 Функция распределения

2 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения:

3 Вероятность

4 Вероятность

3 Исходные данные:

Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением σ = 0,9 т. Написать функцию плотности распределения этой случайной величины и построить график. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т

Решение:

1 Функция плотности распределения

0,44

Задания к практической работе.

Задание 1.

1 Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

2 Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. А) Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. Б) Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

3 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01; б) больше 0,03.

4 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 4 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 2 мин. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания.

5 Диаметр круга х измерен приближенно, причем 5 ≤ х ≤ 6. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (5; 6), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

6 Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.

7 Ребро куба х измерено приближенно, причем 2 ≤ х ≤ 3. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (2; 3), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

8 Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [‒4; 1]. 1) Записать плотность распределения f(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 4) Найти вероятность того, что она попадет в интервал между ‒2 и ‒1

9 В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Найти: а) функцию распределения для этого равномерного распределения; б) вероятность ожидания лифта более чем 3,5 мин; в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 секунд; г) вероятность того, что ожидание лифта будет заключено в диапазоне от 1 до 3 мин. (между 1 и 3 минутами).

10 Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

11 Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности; б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 675 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. рублей.

12 Очень наблюдательный, занимающийся кражей предметов искусства вор, который, вероятно, знает хорошо статистику, заметил, что частота, с которой охранники обходят музей, равномерно распределена между 15 и 60 минутами. Пусть случайная величина Х – время (в минутах) до появления охраны. Найти а) вероятность того, что охранник появится в течение 35 минут после появления вора; б) вероятность того, что охрана не появится в течение 30 минут; в) вероятность того, что охрана появится между 35 и 45 минутами после прихода вора; г) функцию распределения СВ.

13 На перекрестке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зеленый свет через каждые 2 минуты. Время простоя у этого светофора автомобиля, остановившегося на красный свет, есть случайная величина, распределенная равномерно на интервале (0; 2) минут. Найти среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

14 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01; б) больше 0,03.

15 Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 100 тыс. до 1 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности; б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 375 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 1 млн. рублей.

16 Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 12 до 19 часов. Клиент, прождав до 15 часов, отлучился на 2 часа. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

17 Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [‒5; 2]. 1) Записать плотность распределения f(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Найти Вероятность того, что она попадет в интервал между 0 и 2

18 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,05; б) больше 0,1.

19 Автоматический светофор работает в двух режимах: 2 мин. горит зеленый свет и 1 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. А) Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. Б) Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

20 Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [‒1; 4]. 1) Записать плотность распределения f(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 4) Найти Вероятность того, что она попадет в интервал между 2 и 3.

21 Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 200 тыс. до 1,5 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности; б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 575 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 1,5 млн. рублей.

22 Ребро куба х измерено приближенно, причем 3 ≤ х ≤ 4. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (3; 4), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

23 Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 15 часов. Клиент, прождав до 12 часов, отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома? Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

24 Автоматический светофор работает в двух режимах: 2 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. А) Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. Б) Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

25 Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [1; 7]. 1) Записать плотность распределения f(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Найти Вероятность того, что она попадет в интервал между 3 и 5

26 Ребро куба х измерено приближенно, причем 5 ≤ х ≤ 6. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (5; 6), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

27 Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 12 до 16 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 часа. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

28 Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2; 8]. 1) Записать плотность распределения f(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Найти Вероятность того, что она попадет в интервал между 4 и 7

29 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания.

30 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 10 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 4 мин. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания.

31 Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем на 20 секунд. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики СВ.

32 Студент с помощью транспортира, цена деления которого один градус, измеряет угол треугольника. Какова вероятность при считывании угла сделать ошибку в пределах ± 20 минут, если отсчет округляется до ближайшего целого деления? Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики СВ.

33 Шкала секундомера имеет цену делений 0,1 секунд. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0,03 секунд, если отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону? Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики СВ.

34 В московском метрополитене электропоезда идут по расписанию, интервал движения 2 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать электропоезд менее 20 секунд. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики СВ.

35 Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале (а; в), причем М(Х) = 4, D(X) = 3. Найти неизвестные постоянные а и в, плотность вероятности, функцию распределения и Р(2<X<5)

36 Посетителя ресторана может обслужить официант, который принимает заказы с интервалом в 15 минут. Найти вероятность того, что вновь подошедшего посетителя обслужит менее, чем за 5 минут. Вычислить М(Х), D(X), s(X), P(0<X<12), где случайная величина Х – время ожидания.

37 Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале (4; 10). Найти f(X), F(X), М(Х), D(X), s(X), P(1<X<3).

Задание 2.

1 Производится испытание трех электрических чайников, работающих независимо друг от друга. Длительности времени безотказной работы чайников (плотность распределения) распределены по показательному закону: . Найти вероятность, что в интервале времени (0; 13) откажут:

1) все три чайника;

2) хотя бы один чайник;

3) ровно два чайника.

2 Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

3 Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по этому закону.

4 Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента . Найти вероятности того, что в интервале времени (0; 5) часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

5 Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

6 Случайная величина Х распределена по показательному закону . Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (0,2; 1,1).

7 Среднее время безотказной работы прибора равно 85 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

8 Время t расформирования состава через горку - случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть λ = 5 - среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава: 1) меньше 30 мин; 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.

9 Срок службы жесткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся показательному распределению со средней в 12 000 часов. Найти а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) долю жестких дисков, срок службы которых превысит 20 000 часов.

10 Служащий рекламного агентства утверждает, что врем