Прототип задания B9

Прототип задания B9

1. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

2. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

5. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

6. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равен 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30 .

7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

9. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

10. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .

11. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

12. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

13. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

14. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

15. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

16. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

17. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

18. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

19. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

20. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

21. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

22. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна

23. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

24. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

25. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

26. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

27. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

28. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

29. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

30. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

31. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

32. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

33. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

34. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

35. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

36. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

37. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

38. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

39. Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

40. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

41. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

42. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

43. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

44. Объем куба равен . Найдите его диагональ.

45. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

46. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

47. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

48. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 45 и 60 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

49. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

50. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

51. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

52. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

53. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30 .

54. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

55. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

56. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

57. От призмы , объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида . Найдите объем оставшейся части.

58. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

59. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

60. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

61. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону AB основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1: 2, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DABC.

62. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

63. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

64. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

65. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на

66. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

67. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

68. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

69. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

70. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

71. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на

72. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

73. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

74. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

75. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

76. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

77. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

78. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

79. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3, а высота — 6.

80. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

81. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

82. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если его радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

83. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

84. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

85. Площадь поверхности куба равна 8. Найдите его диагональ.

86. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.