![]()
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание 1. Задание 2. Задание 3. Задание 4. Задание 5. Задание 6. Задание 7. Задание 8. Задание 10. Задание 11. Заключение ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Задание 1
Доказать или опровергнуть всеми известными вам методами для произвольных множеств справедливость следующих утверждений (при доказательстве указывать используемые определения, правила, законы и эквивалентные преобразования): 1.1) 1.2)
Теоретическая часть: Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству. X подмножество Y, если X и Y равны
Множество, которое содержит все элементы, из которых состоит множество X, называется универсумом.
Множество всех подмножеств I и операции
Идемпотентность: Коммутативность: Ассоциативность: Дистрибутивность: Поглощение:
При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
Практическая часть:
Доказательство 1.1:
1.1.1)Доказательство с помощью метода от противного:
Предположим, что: Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.1.2)Доказательство с помощью эквивалентных преобразований:
Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.1.3)Доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена:
Разность между одинаковыми диаграммами дает пустое множество. Т. о. равенство 1.1 выполняется.
Доказательство 1.2:
1.2.1) Доказательство взаимным включением:
1) Докажем, что: ч.т.д.
2) Докажем, что: ч.т.д.
Т. о. равенство 1.2 выполняется.
1.2.2) Доказательство с помощью метода от противного:
1) Докажем, что:
Предположим, что:
Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство (*) выполняется.
2) Докажем, что:
Предположим, что:
Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство (**) выполняется.
Т. о. равенство 1.2 выполняется.
1.2.3)Доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена:
Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.2.4)Доказательство с помощью эквивалентных преобразований:
Т. о. равенство 1.2 выполняется.
Задание 2 Доказать для произвольных множеств X,Y,W,Z справедливость (или несправедливость) следующих высказываний: 2.1) 2.2)
Теоретическая часть: Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству. X подмножество Y, если X и Y равны
Множество, которое содержит все элементы, из которых состоит множество X, называется универсумом.
При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
Кортеж (упорядоченное множество) – совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Прямым (декартовым) произведением множества X на множество Y – называется упорядоченное множество A, состоящее из таких и только таких элементов (x,y), что x принадлежит X, а y принадлежит Y.
Операция декартовое произведение не коммутативна.
Практическая часть:
Доказательство 2.1:
2.1) Доказательство с помощью метода от противного:
Предположим, что: Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство 2.1 выполняется.
Доказательство 2.2:
2.2)Доказательство взаимным включением:
1) Докажем, что:
Дальнейшие рассуждения не возможны. Следовательно, (*) неверно.
2) Докажем, что: ч.т.д.
Т. о. равенство 1.2 не выполняется, но примет вид
Задание 3 Доказать или опровергнуть, что для множеств А,В,С, где 3.1) 3.2)
Теоретическая часть: Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству. X подмножество Y, если X и Y равны
Множество, которое содержит все элементы, из которых состоит множество X, называется универсумом.
Множество всех подмножеств I и операции
Идемпотентность: Коммутативность: Ассоциативность: Дистрибутивность: Поглощение:
При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
Кортеж (упорядоченное множество) – совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Прямым (декартовым) произведением множества X на множество Y – называется упорядоченное множество A, состоящее из таких и только таких элементов (x,y), что x принадлежит X, а y принадлежит Y.
Операция декартовое произведение не коммутативна.
Операция проектирования справедлива для множеств, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.
Операция проектирования множества, состоящего из кортежей - операция выделения первых, вторых и т. д. компонент кортежей и образование из них нового множества.
Композиция применима к упорядоченным множествам, состоящим из двоек. y – компонирующий элемент.
Пусть Инверсией кортежа Инверсия произвольного множества состоит из его пар и обозначается
Практическая часть:
Доказательство 3.1:
3.1)Доказательство взаимным включением:
1) Докажем, что:
2) Докажем, что: ч.т.д.
Т. о. равенство 3.1 выполняется.
Доказательство 3.2:
3.2)Доказательство взаимным включением:
1) Докажем, что:
Т.к. пересечение
2) Докажем, что:
Дальнейшие рассуждения не имеют смысла, так как в выражении
Т. о. утверждение 3.2 верно.
Задание 4
Доказать, что если
Теоретическая часть: На диаграммах Эйлера-Вена множества могут находиться в различных взаимных положениях: общее, не пересекаться, равные, и каждое множество может быть включено в другое. Практическая часть:
Проведем доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена. Для этого рассмотрим 5 случаев взаимного положения 2-х множеств: общее, не пересекаются, равны, одно включено в другое и наоборот. 1)Общее: Пространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда , рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст не закрашенный кусочек, а разность между С и А, исключит элементы, принадлежащие множеству С.
2)Не пересекаются:
Пространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда, рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст пустое множество, а разность между С и А, исключит элементы, принадлежащие множеству С.
3) Равны:
4)
5)
Т.к. во всех случаях данные соотношения остаются верными, то от сюда следует, что
Задание 5
Построить отношение: 1) Не рефлексивное, симметричное, транзитивное; 2) Антирефлексивное, несимметричное, нетранзитивное.
Теоретическая часть: Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству. X подмножество Y, если X и Y равны Кортеж (упорядоченное множество) – совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Прямым (декартовым) произведением множества X на множество Y – называется упорядоченное множество A, состоящее из таких и только таких элементов (x,y), что x принадлежит X, а y принадлежит Y.
Операция декартовое произведение не коммутативна.
Операция проектирования справедлива для множеств, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.
Операция проектирования множества, состоящего из кортежей - операция выделения первых, вторых и т. д. компонент кортежей и образование из них нового множества.
Отношением
Способы задания отношений: 1) теоретический 2) матричный (с помощью матрицы смежности) 3) графический Отношение - рефлексивное, если: -антирефлексивное, если: -симметричное, если: - несимметричное, если: - антисимметричное, если: - транзитивное, если: - нетранзитивное, если транзитивность не выполняется для всех или для некоторых - связное, если
Практическая часть:
1) Не рефлексивное, симметричное, транзитивное; 1.1)матричный способ задания: 1.2) теоретический способ задания:
1.3)графический способ задания:
2) Антирефлексивное, несимметричное, нетранзитивное; 1.1)матричный способ задания: 1.2) теоретический способ задания:
1.3)графический способ задания:
Задание 6 Пусть R1 и R2 отношения, заданные на множестве X. Приведите доказательство: Доказать, что если отношения R1 и R2 симметричны, то симметрично отношение R1\ R2.
Теоретическая часть: Отношением
Отношение -симметричное, если: - несимметричное, если: - антисимметричное, если: Пусть имеем
Практическая часть:
Пусть R1ÌA´A и R2ÌA´A Т.к. R1 и R2 симметричны, то "(a,b)ÎA´A aR1b→ bR1a, "(c,d)Î A´A cR2d→ dR2c "(a,b), (c,d)Î A´A aR1b\ cR2d→ bR1a\ dR2c пусть R1\R2=R Þ"(a,b), (c,d)Î A´A aR1b\ cR2d→ bR1a\ dR2c Þ "(e,f)Î A´A eRf→ fRe Þ R1\R2 –симметрично. Ч.т.д.
Задание 7 Задайте морфизмы между отношениями, являющиеся: 1) Эпиморфизмом; 2) Изоморфизмом;
Теоретическая часть: Морфизм – перенесение свойств одного объекта на другой. В дискретной математике под функцией подразумевается отображение некоторого множества Функцией называется функциональное соответствие: Область определения: Область значений:
Если
Если гомоморфизм – инъективен, то он – мономорфизм. Если гомоморфизм – сюръективен, то он – эпиморфизм. Если гомоморфизм – биективен, то он – изоморфизм.
Практическая часть:
Свойства: функциональность, не всюду определенность, инъективность, сюръективность. 2)
Свойства: функциональность, всюду определенность, инъективность, сюръективность. Задание 8 Заданы нечеткие множества
8.1) 8.2) а также степень нечеткости множеств
Теоретическая часть:
Элементы Логика Заде: Нечеткое высказывание 0 – ложное, 1 – истинное, 0.5 – индифферентно. Операции нечеткой логики:
Степень нечеткости – отрицание степени равенства
Практическая часть: 8.1) Для определения значения функции принадлежности использовались определения дополнения и разности нечетких множеств.
8.2) Для определения значения функции принадлежности использовались определения дополнения и объединения нечетких множеств.
Степень нечеткости:
1)
2)
Задание 10 Построить логическую схему на четыре входа Теоретическая часть:
Были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.
|
|