Практическое занятие №45. Пример

Практическое занятие №45

Тема: Исследование функции с помощью производной.

Сведения из теории:

Общая схема построения графиков функций:

1) найти область определения функции;

2) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3) найти промежутки монотонности функции и экстремумы функции;

4) построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1) Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х. Поэтому область определения функции – вся числовая прямая.
Д(у): хÎ(-∞;+∞)

2) Вычислим точки пересечения графика функции с осями координат: график функции у=(х+1)·(х–2)² пересекает ось Ох при у=0 (надо функцию приравнять к 0 и решить полученное уравнение), т. е.

(х+1)·(х–2)²=0;

х+1=0 или (х–2)²=0;

х=-1 или х=2.

График функции у=(х+1)·(х–2)² пересекает ось Оу при х=0 (надо в функцию вместо х подставить 0 и посчитать), т. е.

у=(0+1)·(0–2)²=1·4=4.

Т.о. мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).

3) Найдем промежутки монотонности функции и ее экстремумы с помощью производной:

у’= ((х+1)·(х–2)²)’=((х+1)·(х²-4х+4)’=((х³-4 х²+4х+ х² -4х+4)’=( х³ -3 х² +4)’=
3 х² -6х = 3х·(х–2).

Из уравнения у¢=0 найдем критические точки:

3х·(х–2)=0;

х₁=0, х₂=2.

Результаты решения занесем в таблицу:

х	(–∞, 0)		(0; 2)		(2; +∞)
у¢	+		–		+
у
у	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале
(0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2: у_max=у(0)=4; у_min=у(2)=0.

5) По полученным точкам строим график:

Рисунок 1. График функции у=(х+1)·(х–2)²

Задания для самостоятельного решения:

Исследуйте следующие функции и постройте их графики: