ВОПРОСЫ К экзамену ПО основам линейной алгебры и АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ВОПРОСЫ К экзамену ПО основам линейной алгебры и АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

1. Основы линейной алгебры: Матрицы: определение, равные матрицы, нулевая матрица, ступенчатая матрица. Виды матриц.

2. Операции над матрицами и их свойства.

3. Определители: определение, способы нахождения определителей 1,2,3 порядка.

4. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа (проверка для 3 порядка).

5. Свойства определителей (с доказательством).

6. Определитель Вандермонда (доказать).

7. Обратная матрица: определение, свойства. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы (доказать).

8. Обращение матрицы методом элементарных преобразований (матрицы элементарных преобразований, теоремы).

9. Ранг матрицы (определение, элементарные преобразования, теорема, пример).

10. Линейная комбинация. Линейная зависимость/независимость строк. Теорема о ранге матрицы (доказать).

11. Системы линейных уравнений: основные определения (решение, совместные/несовместные, определённые/неопределённые, равносильные). Матричная запись системы.

12. Способы решения систем m линейных уравнений с n переменными: метод обратной матрицы, теорема Крамера. (доказать). Исследование решения.

13. Способы решения систем m линейных уравнений с n переменными: метод Гаусса, исследование решения. Пример. Теорема Кронекера-Капелли и следствия из неё.

14. Однородные линейные системы (определение, свойства). Фундаментальная система решений (определение, теорема).

15. Элементы векторной алгебры: основные понятия и определения. Проекция вектора на ось (определение, свойства).

16. Линейные операции над векторами (геометрическая и координатная форма). Свойства.

17. Скалярное произведение векторов (определение, свойства, координатная форма). Угол между векторами. Направляющие косинусы.

18. Векторное произведение векторов (определение, свойства, геометрический смысл, координатная форма).

19. Смешанное произведение векторов (определение, свойства, геометрический смысл, координатная форма).

20. Комплексные числа(алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма).Действия с комплексными числами.

21. Многочлены и их корни (основные определения, теорема Безу).

22. Основная теорема алгебры и следствия из неё. Формулы Виета.

23. Многочлены с вещественными коэффициентами, разложение дроби на простейшие. Пример.

24. Линейные и евклидовы пространства: группы, кольца, поле.

25. Определение и свойства линейного пространства. Примеры.

26. Линейные подпространства. Линейная оболочка. Её свойства.

27. Линейная зависимость/независимость систем элементов (опр., теоремы).

28. Размерность и базис линейного пространства (опр. теоремы).

29. Переход к новому базису. Свойства матрицы перехода.

30. Евклидовы пространства (опр., свойства, теоремы).

31. Ортогональные и ортонормированные системы. Ортогональное дополнение.

32. Линейные отображения: Основные определения. Примеры.

33. Образ, ранг, ядро линейного отображения.

34. Операции над линейными отображениями.

35. Матрица линейного оператора.

36. Собственные значения и собственные элементы. Вид матрицы линейного оператора в базисе собственных элементов.

37. Квадратичные формы (определения, критерий Сильвестра).

38. Аналитическая геометрия: Системы координат на плоскости и в пространстве (декартова, полярная, цилиндрическая, сферическая) и связь между ними.

39. Уравнения линии, поверхности. Способы задания. Теорема об инвариантности порядка.

40. Прямая на плоскости: прямая как линия первого порядка (2 теоремы с доказательством). Общее и неполные уравнения прямой.

41. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, пучок прямых, уравнение прямой «в отрезках». Уравнение прямой в полярной системе координат.

42. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.

43. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.

44. Нормальное уравнение прямой.

45. Расстояние от точки до прямой.

46. Плоскость в пространстве: плоскость как поверхность первого порядка (2 теоремы с доказательством). Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения.

47. Уравнение плоскости в отрезках.

48. Нормальное уравнение плоскости.

49. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Пучок и связка плоскостей.

50. Взаимное расположение плоскостей.

51. Расстояние от точки до плоскости.

52. Прямая в пространстве: Векторные и параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

53. Канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Переход к каноническим уравнениям (пример).

54. Взаимное расположение прямых в пространстве.

55. Взаимное расположение прямой и плоскости.

56. Кривые второго порядка: Преобразование координат (параллельный перенос, поворот, симметрия).

57. Общее уравнение кривых второго порядка, теорема о выборе системы координат.

58. Канонические уравнения кривых второго порядка.

59. Эллипс. График и свойства.

60. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

61. Параметрическое и полярное уравнения эллипса.

62. Гипербола. График и свойства.

63. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

64. Параметрическое и полярное уравнения гиперболы.

65. Парабола. График и свойства.

66. Уравнение касательной к эллипсу.

67. Уравнение касательной к гиперболе.

68. Уравнение касательной к параболе.

69. Оптическое свойство эллипса.

70. Оптическое свойство гиперболы.

71. Оптическое свойство параболы.

72. Поверхности второго порядка: классификация.

73. Поверхности вращения. Эллипсоид,

74. Конические поверхности. Конус 2-го порядка. Конические сечения.

75. Цилиндрические поверхности.

76. Гиперболоиды (однополостный и двуполостный).

77. Эллиптический и гиперболический параболоиды.

78. Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие.