Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Тема: Тригонометрические уравнения

План занятия:

1. Простейшие тригонометрические уравнения

2. Простейшие тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Вопрос 1.Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное в аргументах тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для таких уравнений справедливы все общие положения о равносильности уравнений и их следствиях. Обычно каждое тригонометрическое уравнение с помощью соответствующим образом подобранного преобразования сводится к простейшему тригонометрическому уравнению.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся следующие уравнения:

где x – неизвестная величина, a – постоянная (известное число).

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Обратные тригонометрические функции

Частные случаи тригонометрических уравнений:

Sin x = a Cos x=a

Если	Если
Если	Если
Если	Если

Пример 1.Решить уравнение: sinx =

Решение: 1) Используем формулу sinx = a. Заметим что , значит

2) Заменим значение . Так как арксинус это обратная функция синуса, то в таблице углов, в строке синус ищем значение и получаем, что он соответствует радиане . То есть

3) Вернемся в уравнение .

Ответ: .

Пример 2.Решить уравнение: cosx =

Решение: 1) Используем формулу cosx = a. Заметим что , значит

2) Заменим значение . Так как арккосинус это обратная функция косинуса, то в таблице углов, в строке косинус ищем значение и получаем, что он соответствует радиане . То есть

3) Вернемся в уравнение .

Ответ: .

Пример 3.Решить уравнение: tgx = 1

Решение: 1) Используем формулу tgx = a, получим

2) Заменим значение . Так как арктангенс это обратная функция тангенса, то в таблице углов, в строке тангенс ищем значение 1 и получаем, что он соответствует радиане . То есть

3) Вернемся в уравнение .

Ответ: .

Пример 4.Решить уравнение: ctgx = 1

Решение: 1) Используем формулу ctgx = a, получим

2) Заменим значение . Так как арккотангенс это обратная функция котангенса, то в таблице углов, в строке котангенс ищем значение 1 и получаем, что он соответствует радиане . То есть

3) Вернемся в уравнение .

Ответ: .

Вопрос 2.Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Пример. Решить уравнение: 2sin²x+sinx-1=0.

Решение: Замена: sinx=y

2у²+у-1=0.

D=1-4∙2∙(-1) = 9>0, то уравнение имеет 2 различных корня.

у₁ = -1; у₂ = .