Вопросы к экзамену по линейной алгебре

Вопросы к экзамену по линейной алгебре

Лектор: к.ф.-м.н., доцент Семенко Т.И.

1. Понятие числового поля, аксиомы поля.

2. Поле комплексных чисел: понятие комплексного числа, операции над комплексными числами в алгебраической форме, свойства операций.

3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме, их геометрическая интерпретация.

4. Возведение комплексного числа в степень, формула Муавра. Корень из комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа, формула Эйлера.

5. Многочлены над полями и . Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком.

6. Корень многочлена. Теорема Безу, ее следствие.

7. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Теорема о разложении многочлена над C. Понятие кратности корня многочлена.

8. Свойство корней многочленов с вещественными коэффициентами. Теорема о разложении многочлена над .

9. Схема Горнера, ее применение для нахождения кратности корня многочлена.

10. Матрицы. Операции над матрицами, основные свойства операций.

11. Определитель матрицы. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

12. Основные свойства определителей.

13. Обратная матрица, условие ее существования. Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

14. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

15. Теорема Крамера.

16. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы.

17. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о сохранении ранга при элементарных преобразованиях. Ступенчатый вид матрицы. Теорема о ранге матрицы.

18. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Понятие решения системы. Совместная система, определенная система. Элементарные преобразования систем, эквивалентные системы. Матрица системы, расширенная матрица. Ступенчатый вид системы. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности системы.

19. Метод Гаусса.

20. Геометрические векторы. Модуль вектора. Коллинеарные, компланарные векторы. операции над векторами.

21. Линейная зависимость и независимость векторов, базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису, единственность разложения, координаты вектора в базисе.

22. Ортонормированный базис. Ориентация базиса. Декартов базис.

23. Скалярное произведение векторов, его свойства. Проекция одного вектора на другой, угол между векторами, их вычисление с помощью скалярного произведения. Условие перпендикулярности векторов. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

24. Векторное произведение, его свойства, геометрический смысл, критерий коллинеарности векторов. Векторное произведения в ортонормированном базисе.

25. Смешанное произведение, его свойства, геометрический смысл. Критерий компланарности векторов. Смешанное произведение в ортонормированном базисе.

26. Метод координат. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору. Вектор нормали. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

27. Общее уравнение плоскости, его анализ. Угол между плоскостями. Условие параллельности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

28. Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно заданному вектору, через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой.

29. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

30. Прямая на плоскости. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно заданному вектору, через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

31. Общее уравнение прямой на плоскости, его анализ. Вектор нормали, направляющий вектор прямой. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности, перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

32. Линейное (векторное) пространство. Подпространство. Линейная независимость векторов, базис, размерность пространства. Координаты вектора в базисе.

33. Преобразование координат вектора при смене базиса. Матрица перехода к новому базису

34. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при смене базиса.

35. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.

36. Понятие евклидова пространства. Существование ортонормированного базиса, метод ортогонализации Грама – Шмидта.

37. Кривые второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Эксцентриситет, директрисы. Основные формулы и соотношения. Оптическое свойство эллипса.

38. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Эксцентриситет, директрисы. Основные формулы и соотношения. Оптическое свойство гиперболы.

39. Парабола. Вывод канонического уравнения. Оптическое свойство параболы.

40. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду выделением полных квадратов.

41. Симметрические матрицы. Свойства собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. Ортогональные матрицы.

42. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к главным осям.

После изучения курса нужно уметь:

1. Записывать комплексное число в алгебраической, тригонометрической, показательной форме. Переводить число из одной формы записи в другую.

2. Выполнять арифметические операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической, показательной формах. Возводить число в степень, находить корни из числа.

3. Делить многочлен на многочлен с остатком, разлагать многочлен на неприводимые множители над полями и

4. Умножать матрицу на матрицу.

5. Вычислять определители любого порядка, в том числе – разложением по строке (столбцу).

6. Находить обратную матрицу.

7. Решать системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы.

8. Находить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

9. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность, определенность.

10. Находить координаты вектора в базисе.

11. Находить скалярное произведение векторов, угол между векторами, норму вектора, проекцию вектора на другой вектор.

12. Находить векторное произведение векторов, вычислять с помощью него площадь параллелограмма, треугольника.

13. Находить смешанное произведение векторов, вычислять с помощью него объем параллелепипеда, тетраэдра.

14. Записывать стандартные уравнения прямой на плоскости, в пространстве, уравнение плоскости в пространстве.

15. Находить угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями.

16. Находить расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

17. Исследовать систему векторов на линейную зависимость (независимость), находить координаты вектора в базисе (разлагать вектор по базису).

18. Записывать матрицу перехода к новому базису, находить с помощью нее координаты вектора в новом базисе.

19. Записывать матрицу линейного оператора.

20. Находить координаты образа вектора с помощью матрицы линейного оператора.

21. Находить матрицу линейного оператора в новом базисе.

22. Находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

23. Изображать кривые второго порядка.

24. Приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду методом выделения полных квадратов.

25. Приводить квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).