КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Действия с комплексными числами.. z1 =5 – i; z2= 1- i; z3= 3+2i. z1 = 3 – 4i; z2 = 4 + i; z3 = - 2 + 3i;. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Числа вида a+bi, где a;b – действительные числа, число i определяется равенством i² = - 1, называются КОМПЛЕКСНЫМИ числами.

Примеры: 3+2i; -7+I; 5-8i; -2-4i; ½ + (3/2)i и т.п.

i – мнимая единица. z - комплексное число.

z = a + bi –алгебраическая форма комплексного числа.

а – действительная часть комплексного числа

b – мнимая часть комплексного числа.

0 = 0 + 0i – комплексный ноль

1 = 1 + 0i – действительная единица

i = 0 + 1i – мнимая единица

i² = - 1

Комплексное число изображается точкой на плоскости с координатами (х;у), где координата х– это действительная часть, а координата у – это мнимая часть числа, т.е. z = x + yi

Соответственно ось Х называют действительной осью, ось У – мнимой осью.

|z| - модуль комплексного числа z. Это расстояние от начала координат до точки, изображающей число z.

Число a – bi отличается от комплексного числа a + bi знаком мнимой части. Его называют СОПРЯЖЕННЫМ комплексному числу a + bi, и обозначают z.

Действия с комплексными числами.

z₁= a₁+b₁i      z₂= a₂+b₂i

1.    z₁ = z₂ ↔ a₁ = a₂ b₁ = b₂

2. z₁+ z₂ = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i

3. z₁ – z₂ = (a₁- a₂) + (b₁ - b₂)i

4. z₁∙z₂ = (a₁+b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁∙a₂ +a₁∙b₂i + b₁∙a₂i + b₁∙b₂i² = (a₁∙a₂ – b₁∙b₂) + (a₁∙b₂+b₁∙a₂)i

5. z₁= a₁ + b₁i = (a₁ + b₁i)∙(a₂ – b₂i)

z₂ a₂ + b₂i (a₂ + b₂i)∙(a₂ – b₂i)

Примеры:

1). z1= 2 – 3i; z2=6+2i

z₁ + z₂ = 2 – 3i + 6 + 2i = 8 – i

z₁ – z₂ = 2 – 3i – 6 – 2i = - 4 – 5i

z₁∙z₂ = (2 – 3i)(6 + 2i) = 12 + 4i – 18i – 6i² = 12 – 14i + 6 =18 – 14i

z₁ = 2 – 3i = (2 – 3i)(6 – 2i) = 12 – 4i – 18i + 6i² = 12 – 22i – 6 = 6 – 22i =6– 22i

z₂ 6 + 2i (6 + 2i)(6 – 2i)   36 – 4i²                 36 + 4       40   40 40

2). z1 =5 – i; z2= 1- i; z3= 3+2i

2z₂– z₃= 2(1-i) – (3+2i) = 2 - 2i – 3 - 2i = -1 – 4i

5z₁+ z₂ = 5(5- i) + 1 – i = 25 – 5i + 1 – i = 26 – 6i

ЗАДАНИЕ:

z1 = 3 – 4i; z2 = 4 + i; z3 = - 2 + 3i;

Найти: z₁+ 3z₃; z₂– z₃; 2z₁ + 3z₂; z₁∙z₂; z₂∙z₃; z₂ : z₁; (z₁ + 3z₃): z₂

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Пример 1.

x² + 1 = 0 ;   x² = - 1 = i² ; x = ±√i²= ±i ; x₁ = -i;x₂ = i

Пример 2.

x² + 36 = 0; x² = - 36 = 36i²; x = ±√36i² = ±6i; x₁ = - 6i;x₂ = 6i;

Пример 3.

x² + x + 2 = 0;

D = b² – 4ac = 1² - 4∙1∙2 = - 7 = 7i²;

x₁= (-b - √D):2a = (-1 - √7 i): 2 = -1/2 - √7/2 i;

x₂= (-b + √D):2a = (-1 +√7 i):2 = -1/2 + √7/2

Задание:

Решить уравнение:

1). х² + 4 = 0; 2). х² + х + 3 = 0; 3). х² – 2х + 5 = 0;

4). х² – 7х + 20 = 0; 5). х² + х + 7 = 0

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

Вариант 1

1. Решить уравнение:

а). х² + 25 = 0; б). х² – 6х + 10 = 0; в). х² + х + 1 = 0; г).х² – 2х + 4 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙z₃]:(z₁∙z₂), если z₁ = 5 + i, z₂ = -1 – i, z₃ = 7 – i

Вариант 2

1. Решить уравнение:

а). х² + 9 = 0; б). х² – 2х + 6 = 0; в). х² – 4х + 16 = 0; г). х² – 3х + 5 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙z₃]:(z₁∙z₂), если z₁ = 3 + i; z₂ = -2 + i ; z₃ = 8 + i