Зимне-весенний математический марафон 2019 года.

Зимне-весенний математический марафон 2019 года.

Старший вариант (7-8 класс). 6 тур. До 22 апреля 2019 года.

Задачи 2 тура 20 Уральского ТЮМа (старшая группа, высшая лига).

Рекомендуется решать в течение двух недель – это всё-таки Всероссийский турнир!

Учащимся 7 класса решать на выбор либо старший, либо младший вариант, либо оба варианта.

1.(Crux 1997) Существует ли такая последовательность из 1000 квадратов натуральных чисел, что любая сумма нескольких ее первых членов также является точным квадратом?

2.(Lapok) Пусть x_n – количество n-значных чисел, в записи которых все цифры не больше 2, и любые две соседние цифры отличаются не более, чем на 1. Докажите, что x_n+₁ = 2x_n + x_n_–₁ при всех n > 2.

3. (Жюри) В клетках прямоугольной таблицы 13´13 расставлены натуральные числа. Разрешается выбрать любой прямоугольник, составленный из трех клеток таблицы, и изменить на 1 стоящие в его клетках числа следующим образом: крайние уменьшить, а среднее увеличить или наоборот. Известно, что с помощью таких операций можно получить единицы во всех клетках. Докажите, что этого можно добиться, не получая в процессе изменений отрицательных чисел.

4.(Жюри по мотивам классических фактов) В стране 120 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, не проходящими через другие города. Из каждого города выходит хотя бы три дороги. Докажите, что существует несамопересекающийся циклический маршрут, состоящий не более, чем из 11 городов.

5.(Crux 1997) На продолжении стороны BC треугольника ABC за точку B отмечена точка D таким образом, что BD=BA. Точка M – середина стороны AC. Биссектриса угла ABC пересекает прямую DM в точке P. Докажите, что ÐBAP = ÐACB.

6.(Ю.М. Лифшиц) Известно, что 1£ a £ 2 £ b £ 3 £ c £ 4. Докажите, что a²+b²+c²–abc ³ 4.

7.(Жюри) Какое наибольшее число точек можно отметить на плоскости так, чтобы любые три из них образовывали треугольник с углами менее 120°?

8.(Одна из зарубежных олимпиад) Докажите, что для любых взаимно простых натуральных чисел a и b найдутся такие целые числа p и q, что числа p+ na и q+nb взаимно просты при любом натуральном n.