Пару значений(x;y), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.

Если даны два линейных уравнения с двумя переменными x и y:

a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0 — и поставлена задача найти такие пары значений (x;y), которые одновременно удовлетворяют и одному, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой:

a1x+b1y+c1=0,

a2x+b2y+c2=0.

Пару значений(x;y), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.

Решить систему — это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Пример:

1. решить систему уравнений:

x+2y−5=0,

2x+4y+3=0.

Графиком уравнения x+2y−5=0 является прямая.

Найдём две пары значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению.

x
y		2,5

Построим на координатной плоскости xОy прямую l1, проходящую через эти две точки.

Графиком уравнения 2x+4y+3=0 также является прямая.

Найдём две пары значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению.

x	−1,5	2,5
y		−2

Построим на координатной плоскости xОy прямую l2, проходящую через эти две точки.

Прямые l1 и l2 параллельны, значит, система не имеет решений, так как нет точек, удовлетворяющих одновременно и одному, и другому уравнению, т. е. принадлежащих одновременно и одной, и другой из построенных прямых.

Ответ: система не имеет решений.

2. Решить систему уравнений:

2x−y−5=0,

2x+y−7=0.

Построим графики уравнений системы, преобразуя каждое уравнение к виду линейной функции. Получим из первого уравнения y=2x−5 и из второго уравнения y=−2x+7.

Графиком уравнения y=2x−5 является прямая.

x
y	−5

Найдём две пары значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению.

Построим на координатной плоскости xОy прямую l1, проходящую через эти две точки.

Графиком уравнения y=−2x+7 также является прямая.

x
y

Найдём две пары значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению.

Построим на координатной плоскости xОy прямую l2, проходящую через эти две точки.

Прямые l1 и l2 пересекаются в точке A, координаты которой — единственное решение заданной системы.

Ответ: (3;1).

Для решения этих двух примеров применялся графический метод решения системы линейных уравнений.

Но этот метод не очень надёжный, так как координаты точки пересечения по чертежу не всегда легко определить.

Однако всё-таки графический метод решения системы линейных уравнений очень важен.

Применяя его, можно сделать следующие выводы:

1. прямые, являющиеся графиками уравнений, могут пересекаться в одной точке, координаты которой — единственное решение заданной системы.

2. Прямые могут быть параллельны, значит, система не имеет решений (система несовместна).

3. Прямые могут совпадать, значит, система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённа).