Практическое занятие №65. Векторы

Сведения из теории:

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов  называется вектор, который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (правило треугольника).

. Правило треугольника

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограмма: если векторы  и  приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма  есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала  и . Отсюда сразу следует, что .

. Правило параллелограмма

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника, построим сумму четырех векторов , , , .

. Правило многоугольника

Разность двух векторов  называется вектор, который в сумме с вектором  составляет вектор . Если два вектора  и  приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца  («вычитаемого») к концу  («уменьшаемого»).

Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом - . Легко видеть, что . Т. о., построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Три вектора в пространстве можно складывать по правилу параллелепипеда: если на трех векторах , , , как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой = + + :

Рисунок 84. Правило параллелепипеда

Задания для самостоятельного решения:

1) По данным векторам  и  построить каждый из следующих векторов: 1) , 2) , 3) , 4) .

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при вычитании вычитаются соответствующие координаты, т.е. если даны координаты векторов  и , =(х₁, у₁, z₁), =(х₂, у₂, z₂) и = + ; = - , то координаты векторов и  вычисляются по формулам:

=(х₁+х₂; у₁+у₂; z₁+z₂),

=(x₁-x₂; y₁-y₂; z₁-z₂).