Теоремы с доказательством.

Теоремы с доказательством.

Теорема о единственности предела числовой последовательности

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Лемма Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.

Число "е" как предел последовательности {(1 + 1/n)ⁿ}

Определения предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Теорема о единственности предела функции

Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел

Теорема о предельном переходе в неравенстве

Теорема о пределе промежуточной функции

Теоремы о сумме бесконечно малых и произведении бесконечно малой на ограниченную функцию

Теорема о связи бесконечно малой функции с бесконечно большой

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой

Свойства пределов:

Теорема о пределе суммы функций

Теорема о пределе произведения функций

Теорема о пределе частного функций

Теорема о пределе сложной функции

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Свойства функций, непрерывных в точке (непрерывность суммы, произведения и частного от деления).

Теорема о непрерывности сложной функции

Доказательство непрерывности многочлена, функций у = sin x, у = e^х.

Свойства непрерывных на отрезке функций:

Теорема Больцано-Коши 1 об обращении в нуль функции, непрерывной на отрезке.

Теорема Больцано-Коши 2 о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении функции, непрерывной на отрезке, своих максимального и минимального значений.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке

Теорема о точках разрыва функции, монотонной на отрезке

Непрерывность обратной функции

Необходимое и достаточное условия существования наклонной асимптоты.

Вывод уравнений касательной и нормали к плоской кривой.

Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной

Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного.

Теорема о дифференцируемости сложной функции

Теорема о дифференцируемости обратной функции

Вывод производных основных элементарных функций.

Дифференциал функции - определение, геометрический смысл. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка

Обосновать отсутствие свойства инвариантности для дифференциалов высших порядков.

Основные теоремы дифференцирования:

Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Теорема Бернулли - Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций

Формулы Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано

Необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции

Достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции

Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции

Первое достаточное условие существования экстремума функции (по первой производной)

Второе достаточное условие существования экстремума функции (по старшим производным)

Достаточное условие (по второй производной) выпуклости графика функции

Необходимое и достаточное (по второй производной) условия существования точки перегиба графика.

Схема полного исследования и построения графика функции.