Линейная скорость сферического движения.

Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движется по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. По этой причине рассматриваемое движение тела называется сферическим движением.

Для определения положения тела в каждый момент времени воспользуемся двумя системами осей координат: неподвижной системой с началом в неподвижной точке и подвижной системой , неизменно связанной с твердым телом, с началом в той же точке (рис.3).

Положение данного тела в пространстве будет вполне определено, если будет известно положение подвижной системы осей . Обозначим линию пересечения неподвижной плоскости и подвижной плоскости через и установим на ней положительное направление (от к ); эта прямая называется линией узлов (рис.4). Угол между осью и линией узлов обозначим через . Этот угол лежит, очевидно, в плоскости и отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси . Угол между осями и обозначим через . Этот угол отсчитывается от оси в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца линии узлов ( пл. ). Угол между и осью обозначим через . Этот угол лежит в плоскости и отсчитывается от линии узлов против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси .

Заданием углов , , однозначно определяется положение подвижной системы осей, связанной с твердым телом, а следовательно, и положение самого тела. Углы , , называются эйлеровыми углами: - угол прецессии, - угол нутации, - угол собственного вращения.

При движении твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной, эти углы непрерывно изменяются во времени, т.е.

, ,

(4)

Уравнения (4), однозначно определяющие сферическое движение тела, называются уравнениями сферического движения твердого тела.

Для определения кинематических характеристик сферического движения тела (угловой скорости, скоростей его точек и т.д.) приведем теорему Эйлера-Даламбера (без доказательства): твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Рассмотрим малый промежуток времени , за которое какая-нибудь точка твердого тела перемещается из положения в положение . При этом тело повернулось на угол вокруг некоторой оси (рис.5).

Уменьшая величину промежутка времени , получаем ряд положений оси . Предельное положение этой оси при называется мгновенной осью вращения тела для данного момента времени.

Предел, к которому стремится отношение , когда стремится к нулю, называется угловой скоростью твердого тела в момент

(5)

Вектор мгновенной угловой скорости в данный момент откладывается по мгновенной оси от неподвижной точки в такую сторону, чтобы, смотря этому вектору навстречу, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

Линейная скорость точки тела в момент времени определяется по формуле

(6)

где - - радиус-вектор точки , проведенный из неподвижной точки .

Из (6) следует, что модуль скорости точки тела равен , где - угол между радиусом-вектором и мгновенной осью вращения . Но , где - расстояние от точки до оси , т.е. мгновенный радиус вращения точки . Тогда, окончательно имеем

(7)

Вектор скорости точки перпендикулярен к плоскости, проходящей через эту точку и мгновенную ось вращения тела.

Проекции скорости точки на неподвижные оси координат определяются по формулам Эйлера

, ,

(8)

Здесь: и - координаты точки ; , и - проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат.

В заключении приводим уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной системе осей

(9)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Твердое тело движется вокруг неподвижной точки , принятой за начало координат, причем проекции вектора угловой скорости тела на неподвижные координатные оси заданы в виде:

, , .

Найти в момент скорость точки тела, а также расстояние от нее до мгновенной оси. Координаты точки в этот момент равны и .

Решение. Найдем значения проекций угловой скорости при .

, , .

Проекции скорости точки находим по формулам (8)

,

,

.

Модуль скорости точки будет равен

.

По заданным проекциям угловой скорости найдем ее модуль

.

Из формулы (7) для расстояния от точки до мгновенной оси вращения получим .

Пример 3. Конус с углом при вершине и радиусом основания катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна и равна . Определить угловую скорость конуса , а также скорости наинизшей и наивысшей точек основания и (рис.6).

Решение. Движение катящегося конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной. Это движение в каждый момент времени представляет собой вращение вокруг мгновенной оси. Мгновенная ось вращения конуса совпадает с образующей , по которой конус соприкасается с неподвижной плоскостью, так как скорости точек этой образующей равны нулю.

Найдем расстояние от точки до мгновенной оси

.

Модуль угловой скорости конуса определим по формуле (7)

.

Зная направление скорости , откладываем от точки по мгновенной оси вектор угловой скорости так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть вращение конуса вокруг этой оси в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

Перейдем к определению скоростей точек и . Скорость точки , лежащей на мгновенной оси вращения, равна нулю, т.е. .

Найдем расстояние от точки до мгновенной оси вращения

.

Воспользовавшись формулой (7), определяем скорость точки .

.

Вектор скорости , так же как и , направлен перпендикулярно плоскости .

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.