Метод контурных токов. Баланс активных и реактивных мощностей. Уравнения Кирхгофа в дифференциальных и комплексных формах. Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов

Дано: R₁ = 0 Ом R₂ = 75 Ом R₃ = 69 Ом

L₁ = 31 мГн L₂ = 0 мГн L₃ = 47 мГн

C₁ = 0 мкФ C₂ = 14 мкФ C₃ = 48 мкФ

E₁ = 0 B E₂ = 255 В E₃ = 249 В

φ₁ = 0° φ₂ = 219° φ₃ = 39°

n = 50 Гц

w = 314 Гц

Найдем собственные сопротивления:

Х_L₁= wL₁ = 314 * 31*10^-3 = 9,734 Ом

Ом

Х_L₃= wL₃ = 314 * 47*10^-3 = 14,758 Ом

Ом

Собственные ЭДС контуров:

Ė₂= E₂ * cosφ₂ + j E₂ * sinφ₂ = 255 * cos219˚ + j 255 * sin219˚ =

= – 198,17 – j 160,48 B

Ė₃= E₃ * cosφ₃ + j E₃ * sinφ₃ = 249 * cos39˚ + j 249 * sin39˚ =

= 193,5 + j 156,7 B

Метод контурных токов

Найдем комплексные значения собственных и смежных сопротивлений и собственных ЭДС контуров:

Z₁₁ = R₂ + j(X_L₁ – X_C₂) = 75 + j(9,734 – 227,4795) = 75 – j 217,75 Ом

Z₂₂ = R₂ + R₃ + j(– X_C2 + Х_L3 – X_C3) = 75 + 69 + j(– 227,4795 + 14,758 – 66,3482) =

= 144 – j 279,07 Ом

Z₁₂ = Z₂₁ = R₂ – jX_C2 = 75 – j 227,48 Ом

Ė₁₁ = – Ė₂ = 198,17 + j 160,48 B

Ė₂₂ = – Ė₂ + Ė₃ = 198,17222 + j 160,4767 + 193,50934 + j 156,70078 =

= 391,68 + j 317,18 B

(75 – j 217,7455) * İ₁₁ + (75 – j 227,4795) * İ₂₂ = 198,17222 + j 160,4767

(75 – j 227,4795) * İ₁₁ + (144 – j 279,0697) * İ₂₂ = 391,68156 + j 317,17748

Составим расширенную матрицу сопротивлений и ЭДС, решив которую найдем контурные токи:

İ₁₁ = – 1,4305 – j 1,8557 A

İ₂₂ = 0,9744 + j 2,7978 A

Истинные токи в ветвях будут:

İ₁ = İ₁₁ = – 1,4305 – j 1,8557 = 2,34 e^j52,37 A

İ₂ = – İ₁₁ – İ₂₂ = 1,4305 + j 1,8557 – 0,9744 – j 2,7978 = 0,4561 – j 0,9421 =

= 1,046 e^j64,17 A

İ₃ = İ₂₂ = 0,9744 + j 2,7978 = 2,96 e^j70,8 A

Найдем показания ваттметров:

Для этого найдем напряжение U_ab и U_a₂

U_ab = – İ₂ (R₂ – j X_C2) = (– 0,4561 + j 0,9421) * (75 – j 227,4795) = – 34,2075 +

+ j 103,7534 + j 70,6575 + 214,308437 = 180,100937 + j 174,4109 B

U_a₂ = U_ab – Ė₂ = 180,100937 + j 174,4109 + 198,17222 + j 160,4766997 =

= 378,273157 + j 334,8875997 В

P_W1 = Re [U_ab* I₁] = Re [(180,100937 + j 174,4109) * ( – 1,4305 + j 1,8557)] =

= Re [– 257,6343904 + j 334,2133088 – j 249,4947925 – 323,6543071] =

= –581,29 Вт

P_W2 = Re [U_a2* I₃] = Re [(378,273157 + j 334,8875997) * (0,9744 – j 2,7978)] =

= Re [368,5893642 – j 1058,332639 + j 326,3144771 + 936,9485264] =

= 1305,54 Вт

Баланс активных и реактивных мощностей

Для того чтобы найти активную и реактивную мощности, найдем сначала полную мощность.

S_пр = S_ист

S_пр = S₁ + S₂ + S₃

S_ист = Ė₂İ₂ + Ė₃İ₃

S₁ = İ₁²* j X_L1 = (– 1,4305 – j 1,8557)²* j 9,734 = – 51,67934 – j 13,60124 BA

S₂ = İ₂²* (R₂– j X_C2) = (0,4561 – j 0,9421)²* (75 – j 227,47953) =

= – 246,45657 + j 90,124299 BA

S₃ = İ₃²* (R₃ +j (X_L3 – X_C3)) = (0,9744 + j 2,7978)²* (69 – j 51,59019533) =

= – 193,30993 + j 731,06156 BA

S_пр= –51,67934 –j 13,60124 –246,45657 + j 90,124299 – 193,30993 + j 731,06156 =

= – 491,4458 + j 807,5846 ВА

S_ист = (– 198,17222 – j 160,4766997) * (0,4561 – j 0,9421) + (193,5093444 +

+ j 156,7007774) * (0,9744 + j 2,7978) = – 491,4334 + j 807,5943 BA

P = Re [S]

P_пр = P_ист следовательно Re [S_пр] = Re [S_ист]

Re [S_пр] = – 491,4458 Вт

Re [S_ист] = – 491,4334 Вт

Q = Im [S]

Q_пр = Q_ист следовательно Im [S_пр] = Im [S_ист]

Im [S_пр] = 807,5846 ВАР

Im [S_ист] = 807,5943 ВАР

Таким образом, можно сказать, что баланс активных и реактивных мощностей сходится.

Уравнения Кирхгофа в дифференциальных и комплексных формах

Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов